Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция имеет все производные до го порядка включительно, в окрестности точки , то можно написать формулу Тейлора для любого значения n.

(12.1.48)

где остаточный член, который вычисляется по формуле

.

Если имеет производную любого порядка, то n может быть сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности при .

Тогда переходя  к пределу при , получим справа ряд, который называется рядом Тейлора для функции :

(12.1.49)

Равенство (12.1.49) справедливо лишь в том случае, если при , то есть (12.1.49) сходится, его сумма равна . Докажем, что это действительно, что так:

, (12.1.50)

где

В (12.1.50) перейдем к пределу при :

, так как . Но есть я частичная сумма ряда (12.1.49), ее предел равен сумме ряда . Следовательно, равенство (12.1.49) справедливо, то есть

Итак, ряд Тейлора представляет данную функцию только тогда, когда . Если , то ряд не представляет данной функции, хотя может сходиться (к другой функции).

На практике чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда и функция разлагается в ряд непосредственно по степеням . При получается ряд, который называется рядом Маклорена; он имеет вид

 (12.1.51)

Укажем теперь одно достаточное условие разложимости в степенной ряд.

ТЕОРЕМА 12.1.17 Пусть функция и все ее производные ограничены в совокупности на интервале , то есть существует такая постоянная , что для всех и всех выполняется неравенство

. (12.1.52)

Тогда на интервале функция раскладывается а ряд Тейлора

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что функция раскладывается в ряд Тейлора, достаточно убедиться, что предел остаточного члена в формуле Тейлора стремится к нулю при . Возьмем в форме Лагранжа, то есть

или

,(12.1.53)

где .

Следовательно, что

, (12.1.54)

где .

Переходя в неравенстве  к пределу при , получим

. (12.1.55)

Равенство нулю предела, стоящего в правой части, следует из того, что выражение является общим членом сходящегося ряда . Но в таком случае и имеет пределом , что и доказывает наше утверждение.