Разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций cosx и sinx

Пусть . Тогда

поэтому для всех действительных . Согласно теореме (12.14) функция раскладывается в степенной ряд по всей действительной оси. Полагая , найдем .

Следовательно,

или

. (12.1.58)

Ряд (12.1.58) есть разложение в ряд Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена можно получить, повторяя предыдущие рассуждения; так как ряд (12.1.56) сходится на всей действительной оси, то на основании теоремы (12.1.15) его можно почленно дифференцировать, в результате чего получим разложение в степенной ряд

или

.(12.1.59)

Отметим, что (нечетная функция) разлагается по нечетным степеням , а (четная функция) – по четным степеням .