Степенные ряды. Теорема Абеля

Чаще всего на практике используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.17 Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (12.1.37)

где числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем очень важную для всей теории степенных рядов теорему.

ТЕОРЕМА 12.1.12 (ТЕОРЕМА Абеля).

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении x, для которого ; если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком , для которого .

Доказательство. По условию теоремы числовой ряд

(12.1.38)

сходится, значит при    , а это значит, что , что все члены ряда по абсолютной величине меньше . Запишем ряд (12.1.38) в виде

   (12.1.39)

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов

   (12.1.40)

Члены ряда (12.1.40) меньше соответствующих членов ряда

(12.1.41)

Ряд (12.1.41) при представляет геометрическую прогрессию  со знаменателем и, следовательно, сходится. По признаку сравнения числовых рядов из сходимости ряда (12.1.41) следует сходимость ряда (12.1.40).

Из сходимости ряда (12.1.40) следует абсолютная сходимость ряда (12.1.39), а следовательно, и ряда (12.1.37). Значит, при ряд (12.1.37) сходится абсолютно.

2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть в некоторой точке ряд (12.1.37) расходится. Тогда он будет расходиться и в любой точке , удовлетворяющей условию  . Действительно, если бы в какой-либо точке , удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу доказанного он должен был бы сходиться и в точке , так как , что противоречит условию. Следовательно, ряд расходится и в точке x. Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля приводит нас к следующему утверждению.

Существует такое неотрицательное , что при ряд сходится, а при или расходится (поведение ряда при подлежит дальнейшему анализу). На самом деле: пусть для всех степенной ряд сходится, а при расходится.

Выберем , если при степенной ряд сходится, тогда он будет сходиться при всех (по теореме Абеля).

Выберем ; пусть при ряд расходится, тогда по теореме Абеля ряд будет расходиться при всех .

Выбирая последовательно , получим такое , что при всех ряд будет сходиться, а при расходится.

Таким образом, имеет  место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда.

ТЕОРЕМА 12.1.13 Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.18 Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от до , что для всякой точки , лежащей внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек , лежащих вне его, ряд расходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда