Тригонометрический ряд

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, то есть такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток , называемым периодом. Величины, связанные с периодическими явлением, представляют собой периодические функции от времени , характеризуемые равенством .

Таковы, например, сила и напряжение переменного тока и т.д. Простейшей из периодических функций  является синусоидальная величина

,

где есть частота, связанная с периодом соотношением .

Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные, причем составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, ибо сложение синусоидальных величин одной и той же частотой не дает ничего нового, так как приводит к синусоидальной величине прежней частоты.

Если сложить несколько величин вида

(12.1.81)

которые, если считать постоянной , имеют частоты и периоды то получится периодическая функция с периодом , но уже существенно отличная от величин типа (12.1.81).

При изучении данного раздела в технических вузах чаще всего возникает обратная задача: можно ли данную периодическую функцию периода представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин вида (12.1.81)? Оказывается, что по отношению к довольно широкому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но только если привлечь именно всю бесконечную последовательность величин (12.1.81). Для функций этого класса имеет место разложение

 (12.1.82)

где постоянные, имеющие особые значения для каждой функции, а частота дается формулой

.

Если в разложении (12.1.82) за независимую переменную выбрать то будет функцией от :

.(12.1.83)

Функция (12.1.83) периодическая с периодом и разложение (12.1.82) примет вид

 (12.1.84)

Разложив  синус суммы по формуле

положив

, мы придем к конечной форме тригонометрического разложения:

  (12.1.85)

Таким образом, отправляясь от периодических, колебательных явлений и связанных с ними величин, мы пришли к разложению функции в тригонометрический ряд (12.1.85).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.19 Функциональный ряд вида

(12.1.86)

называется тригонометрическим рядом.

Постоянные числа называются коэффициентами ряда (12.1.86). В ряде (12.1.85) свободный член ряда для удобства записывается в виде .

Если ряд (12.1.86) сходится, то его сумма есть периодическая функция f(x) с периодом , так как являются периодическими функциями с периодом .

Пусть дана периодическая функция с периодом .

Постановка задачи: определить, при каких условиях для функции можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции?

Для решения поставленной задачи необходимо определить коэффициенты ряда так, чтобы ряд (12.1.86) был сходящимся и его сумма равнялась заданной периодической функции периода .