Функциональные ряды

Задание числового ряда состоит в задании каждого его члена, а член ряда есть число. Задание функционального ряда от некоторой переменной x состоит в задании ряда функций от этой переменной, являющихся членами функционального ряда. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.9 Выражение где функции, заданные на одном и том же множестве , называется функциональным рядом с общим членом .

Если в функциональном ряду

 (12.1.29)

переменную заменить любым числом , то получим числовой ряд

 (12.1.30)

Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений. В зависимости от значения, принимаемого переменной , числовой ряд (12.30) может сходиться или расходиться.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.10 Функциональный ряд (12.1.29) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд .

Подобно числовым рядам в функциональных рядах вводится понятие частичной суммы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.11 Частичными суммами ряда называются функции

.(12.1.31)

Итак, если частичные суммы ряда (12.1.29), то определение  можно сформулировать следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.12 Функциональный ряд (12.1.29) называется сходящимся в точке , если в этой точке сходится последовательность его частичных сумм.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.13 Множество значений переменной x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.14 Предел частичных сумм сходящегося на множестве x ряда (1) называется его суммой .

. (12.1.32)

ПРИМЕР 12.1.10 Функциональный ряд при каждом представляет убывающую геометрическую прогрессию. Значит, если , ряд сходится. Если , то ряд расходится. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех тех значений переменной x, для которых .

Для определения области сходимости функционального ряда можно применять известные достаточные  признаки сходимости числовых рядов.

ПРИМЕР 12.1.11 Определить область сходимости функционального ряда

.

Для установления области сходимости применим признак Даламбера

,

так как .

Область сходимости ряда или , а для всех , ряд расходится. Остается исследовать сходимость на границе области при . Для этого в функциональный ряд вместо x подставим и ; в результате получим числовой ряд при .

Применим необходимый признак сходимости ряда ; тогда . Необходимый признак не выполняется, значит при ряд расходится.

При x=-2 получаем ряд

, для которого . Тогда областью сходимости функционального ряда является интервал .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.15 Ряд называется м остатком функционального ряда (12.1.29).

Если сумму остатка обозначить через , то сумма сходящегося функционального ряда , есть

.

Для всех x в области сходимости ряда имеет место соотношение , поэтому , то есть предел частичных сумм остатка сходящегося ряда стремится к нулю при .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.16 Ряд , сходящийся для всех из области , называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа существует  такой не зависящий от , номер , что при неравенство выполняется одновременно для всех .

ТЕОРЕМА 12.1.8 (Критерий Коши равномерной сходимости рядов).

Для того, чтобы ряд равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для такой номер , что для всех всех целых  и всех выполнялось неравенство .

Практическое применение критерия Коши для исследования ряда на равномерную сходимость затруднительно. Более простым и удобным при исследовании функционального ряда на равномерную сходимость является достаточное условие равномерной сходимости – признак Вейерштрасса.

ТЕОРЕМА 12.1.9 (Признак Вейерштрасса).

Пусть даны два ряда: функциональный , членами которого являются функции , определенные на множестве , и числовой ряд . Если числовой ряд сходится и для выполняется неравенство , то функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на множестве .

ПРИМЕР 12.1.12 Доказать, что функциональный ряд сходится равномерно на всей числовой оси.

Решение. Для всех , а числовой ряд с м членом , то есть сходится. Значит ряд по теореме Вейерштрасса равномерно сходится на всей числовой оси.