Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Вся построенная выше теория исходила из предложения, что заданная функция определена для всех значений x и при том имеет период . Между тем, чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией , заданной на отрезке . Пусть она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Покажем, что данную функцию в точках непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую функцию  с периодом , совпадающую с функцией на отрезке . Разложим функцию в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка   совпадает с заданной функцией , то есть функция разложена в ряд Фурье на отрезке .

Предположим далее, что функция задана лишь на отрезке . Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, дополним определение функции для значений x произвольным образом на отрезке . Затем по формулам (12.1.91), (12.1.101), (12.1.103) из 12.1.30 определим коэффициенты ряда Фурье для этой функции. Такое доопределение функции на отрезке   дает возможность получить различные тригонометрические ряды.

Если дополним определение функции так, чтобы при было , в результате получится четная функция (см. рис. 12.1.4). В этом случае говорят, что функция «продолжена четным образом».

Эту функцию можно  разложить в ряд Фурье, который содержит только косинусы, коэффициенты его определяются по формулам (12.1.104) 12.1.33.

Аналогично, если дополнить определение функции f(x) условием так, чтобы она оказалась нечетной (см. рис. 12.1.5), то в ее разложении содержатся только члены с синусами, коэффициенты определяется по формулам (12.1.105) 12.1.33.

Таким образом, заданную на отрезке функцию , удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле, можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам.

ПРИМЕР 12.1.30 Требуется разложить функцию на отрезке в ряд по синусам. Продолжая эту функцию нечетным образом, получим

, так что

.