Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть функция (периодическая, с периодом ) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Если функция четная, то произведение нечетная:

(12.1.106)

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит лишь косинусы:

Если нечетная, то произведение нечетная:

(12.1.107)

Отсюда следует, что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:

ПРИМЕР 12.1.28 Разложить в ряд Фурье функцию периода . Данная функция четная. Тогда ее ряд Фурье содержит только косинусы . Вычислим коэффициенты :

.

Таким образом,  .

ПРИМЕР 12.1.29 Периодическая с  периодом функция определена следующим образом:

Эта функция нечетная. Тогда ее ряд Фурье содержит только синусы . Вычислим коэффициент :

.

Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид

.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.