Геометрические вероятности

Пусть задача сводится к случайному бросанию точки на ограниченную фигуру (отрезок прямой [a,b] , часть плоскости D, тело в пространстве V) меры .

Пусть имеет место «схема случаев». Классическое определение к данному испытанию неприменимо, так как число исходов бесконечно (оно равно числу точек фигуры ). В этом случае применяется геометрическое определение вероятности.

Пусть событие А состоит в том, что случайная точка попадает в область , являющуюся частью фигуры и имеющую меру . Тогда вероятность события определяется по формуле

  (13.1.9)

Здесь фигура есть множество возможных, а фигура — множество благоприятных исходов испытания. Следовательно, формула (13.1.9) есть обобщение формулы (13.1.2) на случай испытаний с бесконечным числом исходов.

ПРИМЕР 13.1.9 (задача Бюффона) Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плоскость наудачу брошена игла длиной .Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Пусть U – расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, а — угол, составленный иглой с этой прямой. Пара чисел задает положение иглы с точностью до выбора конкретной прямой. Поскольку нас интересует взаимное расположение иглы с ближайшей прямой, то в качестве возьмем прямоугольник:

Пересечение иглы с прямой происходит только в том случае, когда (см. рис. 13.1.1)

,

рис. 13.1.1

Множество точек фигуры , благоприятных для наступления интересующего нас события А, описывается условием

Имеем:

— площадь прямоугольника, — площадь заштрихованной фигуры.

По формуле (13.1.9) получим

Соответствие рассмотренной математической модели опыту можно проверить экспериментально.

Пусть игла брошена n раз, m раз при этом пересекла линию.

Тогда

Тем самым можно экспериментально найти оценку числа . Результаты такой проверки приведены в таблице:

Испытатель m n Оценка числа
Рейн, 1925г. 0,5419 2520 850 3,1795
Вольф, 1950г. 0,8 5000 2532 3,1596

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >