Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. и, следовательно, вероятность его непоявления q=1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие A. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа:

.

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого события, по теореме умножения вероятностей независимых событий, есть

Полагая k=l, 2, … в данной формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q:

.

По этой причине данное распределение называют геометрическим.

Легко убедиться, что ряд сходится и сумма его равна единице. Действительно, по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма ряда есть

ПРИМЕР 13.1.27 Электрическая лампочка включается и выключается до перегорания спирали. Вероятность перегорания р=0,001. Найти вероятность того, что перегорание произойдет на 100-м включении.

Решение По условию р=0,001, q=0,999, k=100.

Искомая вероятность

.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >