Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)

Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F(x,y) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей f(x,y) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

.

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

ПРИМЕР 13.1.52 Найти плотность совместного распределения f(x,y) системы случайных величин (X,Y) по известной функции распределения,

Решение. По определению плотности совместного распределения, ,

Найдем частную производную по x от функции распределения:

Найдем от полученного результата частную производную по y, в итоге получим искомую плотность совместного распределения:

На рисунке представлено графическое изображение плотности совместного распределения f(x,y).