Дисперсия дискретной случайной величины

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и Y, заданные следующими законами распределения:

X -0,1 0 0,1 Y -100 0 100
0,3 0,4 0,3 0,3 0,4 0,3

Найдем математические ожидания этих величин;,
.

Таким образом, математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, a Y — далекие от своего математического ожидания. Поэтому, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Предварительно введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть Х — случайная величина и M(X) — ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность .

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Пусть закон распределения Х известен:

Определим закон распределения отклонения. Для того, чтобы отклонение приняло значение достаточно, чтобы случайная величина приняла значение . Вероятность же этого события равна , следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение , также равна . Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.
Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Приведем важное свойство отклонения.

ТЕОРЕМА 13.1.11. Математическое ожидание отклонения равно нулю: .

Доказательство. Так как математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной и учитывая, что — постоянная величина, имеем .

ПРИМЕР 13.1.34 Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X 0 5 10 15
0,2 0,4 0,3 0,1

Проверить, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание X:

.

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений Х вычтем математическое ожидание :

,

,

,

.

Итак,

-6,5 -1,5 3,5 8,5
0,2 0,4 0,3 0,1

Найдем математическое ожидание отклонения:.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Первоначально может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X-M(X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Поэтому целесообразно заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения

Тогда квадрат отклонения имеет, следующий закон распределения:

По определению дисперсии,

Таким образом, для того, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

ПРИМЕР 13.1.35 Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X 0 5 10 15
0,2 0,4 0,3 0,1

Решение. Найдем математическое ожидание:

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

,

,

,

,

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

42,25 2,25 12,25 72,25
0,2 0,4 0,3 0,1

По определению

Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказалось относительно громоздким. На практике обычно пользуются результатом следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 13.1.12. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: .

Доказательство. Математическое ожидание есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Используя, кроме того, свойства математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии: .

ПРИМЕР 13.1.36 Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X 0 5 10 15
0,2 0,4 0,3 0,1

Решение. Найдем математическое ожидание :

Напишем закон распределения случайной величины :

X 0 25 100 225
0,2 0,4 0,3 0,1

Найдем математическое ожидание .

Искомая дисперсия

Замечание. Казалось бы, если Х и Y имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и дисперсии этих величин равны. Однако в общем случае это не так, т.к. одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений Х больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероятности “близких” значений Х меньше, чем вероятности тех же значений Y, то, очевидно, дисперсия Х больше дисперсии Y.

Приведем иллюстрирующий пример.

ПРИМЕР 13.1.37

X -1 0 1 3 Y -1 0 1 3
0,2 0,4 0,3 0,1 0,3 0,2 0,1 0,4

Решение. Легко убедиться, что

, , , .

Таким образом, возможные значения и математические ожидания Х и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем , . Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

Далее без доказательств, приведем свойства дисперсии.