Коррелированность и зависимость случайных величин

Две случайные величины X и Y называют коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и Y называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.

Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что , а это противоречит условию, так как для коррелированных величин .

Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

ПРИМЕР 13.1.60 Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения:

Доказать, что X и Y — зависимые некоррелированные величины.

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y (см. пример прим.13.1.55):

внутри заданного эллипса и

вне его.

Так как , то X и Y — зависимые величины.

Для того, чтобы доказать некоррелированность X и Y , достаточно убедиться в том, что . Найдем корреляционный момент

.

Поскольку функция симметрична относительно оси Oy, то M(X)=0; аналогично M(Y)=0 в силу симметрии относительно оси Ox. Следовательно,

.

Вынося постоянный множитель f(x,y) за знак интеграла, получим

.

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, , т.е. зависимые случайные величины X и Y некоррелированы.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их коррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение доказывается в следующем разделе.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >