Линейная и нормальная корреляция

Рассмотрим двумерную случайную величину (X,Y). Если обе функции регрессии Y на X и X на Y линейны, то говорят, что X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. Очевидно, графики линейных функций регрессии – прямые линии, причем можно доказать, что они совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии. Имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 13.1.22. Если двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Доказательство. Двумерная плотность вероятности

(13.1.57)

где (13.1.58)

Плотность вероятности составляющей X

(13.1.59)

Найдем функцию регрессии M(Y|x), для чего найдем сначала условный закон распределения величины Y при X = x:

Подставив (13.1.57) и (13.1.58) в правую часть этой формулы и выполнив выкладки, имеем

Заменив u и v по формулам (13.1.58), окончательно получим

Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии Y на X)

и дисперсией

Аналогично можно получить функцию регрессии X на Y:

Так как обе функции регрессии линейны, то корреляция между величинами X и Y линейная, что и требовалось доказать.

Принимая во внимание вероятностный смысл параметров двумерного нормального распределения, заключаем, что уравнения прямых регрессии

,

совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >