Нормальное распределение

На практике при решении задач приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы нормального, показательного и равномерного распределений.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при достаточно часто встречающихся типичных условиях.

Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие. Все эти примеры объединяет общая закономерность: случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов, воздействие каждого из которых на данную величину незначительно и невозможно указать, какой именно влияет в большей степени, чем остальные.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

,

Очевидно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

По определению математического ожидания непрерывной случайной величины

,

,

.

Итак, М (X) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а;

Далее, по определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М(Х)=а, имеем

,

,

,

.

Итак,

По определению математического ожидания непрерывной случайной величины

,

Следовательно

Таким образом, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру

Замечание. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и ()

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а=0 и .

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >