Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны .

Тогда математическое ожидание М(X) случайной величины Х определяется равенством

,

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то

,

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

ПРИМЕР 13.1.29 Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

0 5 10 15
0,216 0,432 0,288 0,064

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

.

На рисунке представлена механическая интерпретация М(X) как абсциссы центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы — их вероятностям.

ПРИМЕР 13.1.30 Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

Решение. Случайная величина Х — число появлений события А в одном испытании — может принимать только два значения , (событие А наступило) с вероятностью р и , (событие А не наступило) с вероятностью q=1-p. Искомое математическое ожидание

,

Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >