Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Ранее непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) — первую производную от функции распределения F(x):

.

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

ТЕОРЕМА 13.1.14. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

.

Доказательство. Используем соотношение

.

По формуле Ньютона—Лейбница

.

Таким образом,

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми х=а и х=b (рис.13.1.9).

Рис.13.1.9

ПРИМЕР 13.1.42 Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Искомая вероятность

.

Зная плотность распределения f(х), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

.

Действительно, если F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее x, т. е.

,

то неравенство можно записать в виде двойного неравенства , следовательно,

.

ПРИМЕР 13.1.43 Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение. Воспользуемся формулой .

.

.

.

Итак, искомая функция распределения

.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >