Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р ? 0,1). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение nр сохраняет постоянное значение, а именно: . Как будет следовать из дальнейшего, это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Так как , следовательно,

В предположении, что n имеет очень большое значение, вместо найдем

При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: n хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим n к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение nр сохраняет постоянное значение, то при вероятность . Итак,

Так как

,

,

.

а множитель не зависит от n, то получаем (для простоты записи знак приближенного равенства опущен)

.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

ПРИМЕР 13.1.26 Тигр-альбинос появляется в природе в среднем один на десять тысяч особей. В год рождается около 500 особей. Какова вероятность появится в следующем году двум тиграм-альбиносам?

Решение По условию, n =500, р=0,0001, k=2. Найдем :

.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

.

Вероятности появления k тигров-альбиносов показаны на рисунке.

.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >