Свойства двумерной плотности вероятности

Свойство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна:.

Доказательство. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и есть неотрицательное число; площадь этого прямоугольника – положительное число. Следовательно, отношение этих двух чисел, а значит, и их предел (при и ), который равен , есть неотрицательное число, т. е. .

Заметим, что свойство непосредственно следует из того, что — неубывающая функция своих аргументов.

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:.

Доказательство. Бесконечные пределы интегрирования указывают, что областью интегрирования служит вся плоскость xOy; поскольку событие, состоящее в том, что случайная точка попадает при испытании на плоскость xOy, достоверно, то вероятность этого события (она и определяется двойным несобственным интегралом от двумерной плотности) равна единице, т. е.

ПРИМЕР 13.1.54 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

;. Найти постоянный параметр C.

Решение. Воспользуемся свойством 2, учитывая, что x и y изменяются от 0 до ,

Отсюда

.

Выполняя интегрирование, получим искомое значение параметра C=1.

На рисунке представлено графическое изображение плотности совместного распределения f(x,y).

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >