Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:.

Доказательство: Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. Следовательно,.

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Например, если вероятность возможного значения равна , то вероятность того, что величина СХ примет значение , также равна .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
.

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:…

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

Тогда .

Итак,.

Замечание 2. Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин Х и Y как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения равна , вероятность возможного значения равна , то вероятность возможного значения равна .

Следующее свойство приведем без доказательства.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем
.

ПРИМЕР 13.1.31 Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

X 0 5 10 15 Y -1 0 1
0,2 0,4 0,3 0,1 0,2 0,5 0,3

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
,.

Случайные величины Х и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание
.

Замечание 4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений Х+Y для независимых величин Х и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого, на условную вероятность второго.

Следующее свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин, его приведем без доказательства.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых
.

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем
.

ПРИМЕР 13.1.32 Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Х и на второй — через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

.

Очевидно, что и .

Искомое математическое ожидание

.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 13.1.10. Математическое ожидание М (X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
.

ПРИМЕР 13.1.33 Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >