Свойства функции распределения двумерной случайной величины

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству .

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – всегда неотрицательное число, не превышающее единицу.

Свойство 2. F(x,y) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

;

.

Доказательство. Докажем, что F(x,y) – неубывающая функция по аргументу x. Событие, состоящее в том, что составляющая X примет значение, меньшее , и при этом составляющая Y < y, можно подразделить на следующие два несовместных события:

  1. X примет значение, меньшее , и при этом Y < y с вероятностью ;
  2. X примет значение, удовлетворяющее неравенству , и при этом Y < y с вероятностью .

По теореме сложения,

.

Отсюда

,

или

.

Любая вероятность есть число неотрицательное, поэтому , или , что и требовалось доказать.

Свойство становится наглядно ясным, если воспользоваться геометрическим истолкованием функции распределения как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (x;y). При возрастании x правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в новый квадрант, очевидно, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что F(x,y) есть неубывающая функция по аргументу y.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .
  5. Доказательство

    1) есть вероятность события и Y < y; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие ), следовательно, вероятность этого события равна нулю.

    Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при правая граница бесконечного квадранта неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

    2) Событие невозможно, поэтому .

    3) Событие невозможно, поэтому .

    4) Событие и достоверно, следовательно, вероятность этого события .

    Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при и бесконечный квадрант превращается во всю плоскость xOy и, следовательно, попадание случайной точки (X;Y) в эту плоскость есть достоверное событие.

    Свойство 4

    а) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:
    .

    б) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y: .

    Доказательство.

    а) Так как событие достоверно, то определяет вероятность события X

    б) Доказывается аналогично.

    Онлайн помощь по математике >
    Лекции по высшей математике >
    Примеры решения задач >