Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Пусть (X,Y) – непрерывная двумерная случайная величина.

Условной плотностью распределения составляющих X при данном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения f(x,y) системы (X,Y) к плотности распределения составляющей Y:

. (13.1.46)

Подчеркнем, что отличие условной плотности от безусловной плотности состоит в том, что функция дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение Y = y; функция же дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при заданном значении X = x:

. (13.1.47)

Если известна плотность совместного распределения f(x, y), то условные плотности составляющих могут быть найдены в силу (13.1.46) и (13.1.47) по формулам

(13.1.48)

. (13.1.49)

Запишем формулы (13.1.46) и (13.1.47) в виде

, .

Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

, ,

, ,

ПРИМЕР 13.1.57 Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Решение. Найдем условную плотность составляющей X при ,

по формуле (13.1.48):

Так как f(x, y) = 0 при , то при .

Пользуясь формулой (13.1.49), аналогично найдем условную плотность составляющей Y: