Схема и формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться, либо не появиться событие А. Пусть вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же.

Обозначим ; .

Поставим задачу вычислить вероятность того, что при испытаниях событие А наступит ровно m раз. Искомую вероятность обозначим , где .

Решение. Имеем схему независимых испытаний в одинаковых условиях Бернулли: .

Результаты одной серии испытаний, в которой событие А наступило ровно m раз, запишем в виде таблицы, где единица соответствует наступлению события A, а ноль – наступлению :

Испытания 1 2 3 4 5 n-1 n
Событие 1 0 1 1 0 0 1
Вероятность p q p p q q p

Очевидно, что сумма единиц во второй строке таблицы должна равняться m, а число нулей равно n-m . Вероятность появления данной комбинации по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Число же различных комбинаций наступления события А m раз в серии из n испытаний будет равно числу способов расстановки m единиц по n клеткам, что дает . Так как все комбинации представляют собой несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий получаем, что искомая вероятность будет равна

(13.1.25)

Формула (1.25) называется формулой Бернулли. Вероятности называют биномиальными, так как правая часть формулы (13.1.25) равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням x :

. (13.1.26)

Функция , обладающая тем свойством, что коэффициент при в разложении (13.1.26) дает вероятность наступления события А в серии из n независимых испытаний, проводимых в одинаковых условиях, ровно m раз, называется производящей функцией для .
Из формулы (13.1.26) при x=1 с учетом того, что , получаем

. (13.1.27)

Этот результат (сумма всех биномиальных коэффициентов равна 1) можно было предвидеть, так как в (13.1.27) суммируются вероятности для полной группы несовместных событий.

ПРИМЕР 13.1.18 Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 суток расход электроэнергии в течение 2 суток не превысит нормы.

Решение. Имеем схему Бернулли:

, , , . По формуле Бернулли находим:

.

Рассмотрим еще ряд задач, которые решаются с использованием формулы Бернулли.

Обозначим — вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли событие А наступит от до раз .

Тогда имеет место формула

. (13.1.28)

В частности, вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит хотя бы один раз, равна

; (13.1.29)

вероятность того, что событие А в n испытаниях наступит не менее k раз, равна

. (13.1.30)

ПРИМЕР 13.1.19 Планируется нанесение бомбового удара по цели, для поражения которой необходимо попадание хотя бы одной бомбы. Вероятность попадания в цель одной бомбы равна 0,3. Определить необходимое количество бомб для поражения цели с гарантированной вероятностью .

Решение. Имеем схему Бернулли, .

,

.

Вывод: для поражения цели с необходимо не менее 5 бомб.

.

Если независимые испытания проводятся с изменением условий, то правило вычисления вероятностей можно сформулировать так: если производится n независимых испытаний по схеме Бернулли, причем вероятность наступления события А в i — м испытании равна , то вероятность появления события А ровно m раз равна коэффициенту при разложения производящей функции по степеням x :

. (13.1.30)

Очевидно, что и в этом случае условие (13.1.27) должно выполняться, что используется при проверке правильности вычисления , где .

ПРИМЕР 13.1.20 По цели производится два выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле , при втором . Найти вероятности событий: — нет попаданий, — одно попадание, — два попадания.

Решение. Эта задача может быть решена непосредственно с использованием основных теорем теории вероятностей. Пусть — попадание при первом выстреле, — промах, — попадание при втором выстреле, — промах.

Тогда ; ; .

Имеем

,

,

.

Проверка

,

.

Второй способ. Обозначим

,

,

,

.

Имеем схему Бернулли с изменением условий. Составим производящую функцию:

.

Отсюда: ; ; .

Получили те же результаты.

Перейдем теперь к рассмотрению предельных теорем в схеме Бернулли.