Теорема Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p. Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появления события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 году), которая получила название “закона больших чисел” и положила начало теории вероятностей как науке. Ниже приведено доказательство этой теоремы, данное П.Л. Чебышевым в 1846 году.

ТЕОРЕМА 13.1.16. (Бернулли)
Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место неравенство

Доказательство. Обозначим через дискретную случайную величину – число появлений события в первом испытании, через — во втором, …, — в n-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью p и 0 (событие не появилось) с вероятностью q = 1 – p.

Так как случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены, то к ним можно применить теорему Чебышева. Попарная независимость величин следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины (i=1,2,…,n) равна произведению pq; так как p+q=1, то произведение не превышает ? и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, число С=1/4.

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин (т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности p наступления события, получим

.

Остается показать, что дробь равна относительной частоте m/n появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу m появлений события в n испытаниях, а значит,

.

Учитывая это равенство, окончательно получим

.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >