Теоремы сложения вероятностей

В соответствии с аксиомой А3 вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Рассмотрим теоремы вероятности суммы совместимых событий.

ТЕОРЕМА 13.1.5 Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: (13.1.19)

Доказательство

: представим события А, В и А+В в виде суммы несовместных событий:

; ;

С учетом аксиомы А3 имеем

  1. ;
  2. ;
  3. .

Подставив (1) и (2) в (3), получим

. (13.1.20)

ПРИМЕР 13.1.15

Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудия соответственно равны:
; .

Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе.

Решение

. Пусть

, .

События совместны и независимы. Имеем , .

Методом полной математической индукции формулу (13.1.20) можно обобщить на случай любого числа совместных событий: (13.1.21)

В частности, для трех совместных событий формула (13.1.21) имеет вид

.(13.1.22)

Выведем ряд следствий теорем сложения и умножения вероятностей.

Следствие 1. .

Следствие 2. Если — полная группа попарно несовместных событий, то
.

Следствие 3. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна

ПРИМЕР 13.1.16 Истребитель атакует бомбардировщик и производит пуск четырех неуправляемых ракет. Для поражения бомбардировщика достаточно хотя бы одного попадания ракеты. Найти вероятность поражения бомбардировщика, если вероятность попадания каждой ракеты в цель .

Решение. Пусть — попадание в цель соответственно каждой по счету ракетой. Тогда — промахи этих ракет.

Пусть событие B – цель поражена (хотя бы одно попадание), тогда — нет попаданий. Событие .

По условию .

Имеем .

Так как события независимые, то ,.