Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:

X 1 10 20 150
p 0,2 0,4 0,3 0,1

Найдем математическое ожидание M(X):

Напишем закон распределения случайной величины :

1 100 400 22500
p 0,2 0,4 0,3 0,1

Найдем математическое ожидание :

.

Видим, что : значительно больше M(X) . Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины , соответствующее значению х=150 величины X, стало равным 22500, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,1).

Таким образом, переход от M(X) к позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине , а тем более к величинам , и т. д., позволил бы еще больше “усилить роль” этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины :

.

В частности, , .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

.

Кроме моментов случайной величины Х, целесообразно рассматривать моменты отклонений .

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины :

.

В частности,

,

.

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая выражения для дисперсии, получим

.

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы

,

.

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Отметим, что моменты, рассмотренные здесь, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >