Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Известно, что если события A и B зависимы, то условная вероятность события B отличается от его безусловной вероятности. В этом случае

. (13.1.43)

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин. Для того, чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, введем понятие условного распределения.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (X,Y). Пусть возможные значения составляющих таковы: .

Допустим, что в результате испытания величина Y приняла значение ; при этом X примет одно из своих возможных значений: , или , …, или . Обозначим условную вероятность того, что X примет, например, значение при условии, что , через . Эта вероятность, вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности .

В общем случае условные вероятности составляющей будем обозначать так:
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m).

Условным распределением составляющей X при называют совокупность условных вероятностей , , …, , вычисленных в предположении, что событие (j имеет одно и то же значение при всех значениях X) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно, пользуясь формулой (13.1.43), вычислить условные законы распределения составляющих. Например, условный закон распределения X в предположении, что событие уже произошло, может быть найден по формуле

(i = 1, 2, … , n).

В общем случае условные законы распределения составляющей X определяются соотношением

(13.1.44)

Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

(13.1.45)

Замечание. Сумма вероятностей условного распределения равна единице. Действительно, так как при фиксированном имеем

,

то .

Аналогично доказывается, что при фиксированном

Это свойство условных распределений используют для контроля вычислений.

ПРИМЕР 13.1.56 Дискретная двумерная случайная величина задана таблицей

Y\X
0,10 0,15 0,25
0,12 0,20 0,18

Найти условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение .

Решение. Искомый закон определяется совокупностью следующих условных вероятностей: , ,

Воспользовавшись формулой (13.1.44) и приняв во внимание, что , имеем:

,

,

,

Сложив для контроля найденные условные вероятности, убедимся, что их сумма равна единице, как и должно быть, в соответствии с замечанием, помещенным выше: 1/5+3/10+1/2=1.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >