Формулы полной вероятности и Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. События назовем гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез и условные вероятности . Чему равна вероятность

ТЕОРЕМА 13.1.6. Вероятность события А, которое может наступить вместе с одной из гипотез , равна сумме произведений вероятности каждой из гипотез на соответствующую ей условную вероятность события А:

. (13.1.23)

Формулу (13.1.23) называют формулой полной вероятности.

Доказательство: Так как , при , то событие А можно представить в виде следующей суммы попарно несовместных событий: .

Используя аксиому A3 и формулу (13.1.2), получим

Пусть в результате испытания событие А наступило. Поставим задачу: определить, как изменились ( в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез, то есть будем искать условные вероятности .

По теореме умножения имеем

Заменив по формуле (13.1.23), окончательно получим
, . (13.1.24)

Формула Байеса

Формулу (13.1.24) называют формулой Байеса.

Формулы Байеса позволяют по априорным (известным до испытания) вероятностям найти апостериорные (вычисленные после испытания) вероятности , если известен результат испытания (событие А наступило).

ПРИМЕР 13.1.17 В пирамиде 5 винтовок, две из них снабжены оптическим прицелом. Вероятность поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9, а для винтовки без оптического прицела – 0,7.

Требуется:

  1. Найти вероятность поражения мишени, если стрелок произвел один выстрел из наудачу взятой винтовки.;
  2. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: мишень поражена из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Решение . Введем гипотезы:

  • — винтовка с оптическим прицелом;;
  • — винтовка без оптического прицела;

А – цель поражена при одном выстреле.

;;
;.

1) По формуле полной вероятности найдем: .

2) По формуле Байеса найдем вероятности гипотез после испытания:
; .

Так как , то более вероятно, что цель поражена из винтовки без оптического прицела.

Знание основных теорем и формул теории вероятностей позволяет по известным вероятностям элементарных событий находить вероятности сложных событий, что имеет важное практическое значение.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >