Ряд Фурье функции 
будет сходиться и его сумма будет равна 
, если только сделать некоторые ограничительные предположения относительно функции 
. Эти ограничения сформулируем в виде определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.20 Говорят, что функция 
периода 
удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке 
, если она непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва первого ряда на этом отрезке и этот отрезок можно разбить на конечное число таких отрезков, в каждом из которых 
меняется монотонно. Одной из основных теорем рядов Фурье является следующая.
Теорема Дирихле. Если периодическая функция 
с периодом 
, заданная на отрезке 
, удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле, то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда 
равна значению функции 
в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции 
, то есть если 
точка разрыва, то
.
Данную теорему приводим без доказательства. Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных разделах математики.
ПРИМЕР 12.1.26 Разложить в ряд Фурье функцию 
с периодом 
, если 
.
Функция 
удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.
По формуле (12.1.91) находим 
:
(так как 
нечетная).
Определим 
и 
:
(так как 
есть функция нечетная как произведение четной функции на нечетную, то определенный интеграл в симметричных пределах интегрирования относительно нуля от нечетной функции равен нулю).
.
Таким образом, получаем ряд
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равно среднему арифметическому ее пределов справа и слева, то есть равна нулю.
Замечание. Если функция 
периодическая с периодом 
, а 
любое число, то справедливо равенство
(12.1.103)
Так как 
периодическая с периодом 
, то
.
Полагая 
при любых 
и 
, можно записать:
В частности, принимая 
, получим
(12.1.104)
Рассмотрим интеграл
.
Из доказанного вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье можно заменить промежуток интегрирования 
промежутком интегрирования 
, то есть можем положить:
. (12.1.105)
Покажем на примере, как доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях.
ПРИМЕР 12.1.27 Разложить в ряд Фурье функцию 
с периодом 
, которая на отрезке 
задана равенством 
.
График функции изображен на рис. 12.3 Как видно на рис. 12.3 функция на отрезке 
задана двумя формулами
и вычисление коэффициентов ряда Фурье по формулам (12.91), (12.101), (12.103) неудобно, так как в каждом из интегралов интервал интегрирования приходится разбивать на два: от 
до 
и от 
до 
. В то же время на отрезке 
функция гораздо проще, она задается одной формулой 
. Поэтому для вычисления коэффициентов ряда Фурье удобнее формулы (12.105) при 
.
Тогда разложение функции в ряд Фурье будет иметь вид
.
Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (то есть кроме точек 
). В этих точках сумма ряда равна полусумме предельных значений функции 
справа и слева, в данном случае числу 
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >