Свойство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна:
.
Доказательство. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами 
и 
есть неотрицательное число; площадь этого прямоугольника – положительное число. Следовательно, отношение этих двух чисел, а значит, и их предел (при 
и 
), который равен 
, есть неотрицательное число, т. е. 
.
Заметим, что свойство непосредственно следует из того, что 
— неубывающая функция своих аргументов.
Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:
.
Доказательство. Бесконечные пределы интегрирования указывают, что областью интегрирования служит вся плоскость xOy; поскольку событие, состоящее в том, что случайная точка попадает при испытании на плоскость xOy, достоверно, то вероятность этого события (она и определяется двойным несобственным интегралом от двумерной плотности) равна единице, т. е.
ПРИМЕР 13.1.54 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
;
. Найти постоянный параметр C.
Решение. Воспользуемся свойством 2, учитывая, что x и y изменяются от 0 до 
,
Отсюда
.
Выполняя интегрирование, получим искомое значение параметра C=1.
На рисунке представлено графическое изображение плотности совместного распределения f(x,y).
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >