Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши

Все дифференциальные уравнения порядка выше первого называют дифференциальными уравнениями высших порядков. Как мы уже знаем, порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, входящей в состав уравнения; таким образом, можно дать следующее определение – определение дифференциального уравнения порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.11 Дифференциальными уравнениями порядка называются уравнения, связывающие независимую переменную, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции до го порядка включительно.

Его общий вид

или, предполагая уравнение разрешенным относительно старшей производной,

(11.1.15)

Функция или может и не зависеть от некоторых из аргументов x,y , но во всех случаях уравнение го порядка должно содержать производную го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.12 Решением дифференциального уравнения (11.1.15) называется всякая функция , которая удовлетворяет этому уравнению, то есть

.

Решение уравнения (11.1.15) может быть задано также в неявном виде: . График решения уравнения (11.1.15) называется интегральной кривой.

Задача Коши для уравнения ставится так. Найти решение уравнения (11.1.15), удовлетворяющее начальным условиям

при (11.1.16)

где заданные числа.

В случае уравнения второго порядка начальные условия имеют вид при , то есть в точке задаются значения искомой функции к ее первой производной . Геометрически в задаче Коши речь идет о нахождении интегральной кривой , проходящей через заданную точку и имеющей в этой точке заданный наклон касательной (рис. 11.5).

Возникает вопрос: можно ли по виду правой части уравнения

сказать, имеет ли оно решение, удовлетворяющее начальным условиям (11.1.16), и будет ли это решение единственным? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема существования и единственности решения.

ТЕОРЕМА 11.1.4 Если в уравнении (1) функция удовлетворяет следующим условиям:

1) она непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области их изменения;

2) существуют частные производные в области и они ограничены то уравнение (11.1.15) имеет единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям (11.1.16).

ПРИМЕР 11.1.19 Для уравнения существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Таким решением будет . Других решений, удовлетворяющих этим начальным условиям, нет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.13 Функция

(11.1.17)

называется общим решением уравнения (1) в некоторой области изменения переменных , если она удовлетворяет условиям:

1) система уравнений

(11.1.18)

разрешима в области относительно произвольных постоянных , так что мы имеем

2) функция (11.1.17) является решением дифференциального уравнения при всех значениях произвольных постоянных.

Всякое решение, получающееся из общего решения (11.1.17) при конкретных числовых значениях произвольных постоянных , называется частным решением.