Онлайн курс высшей математики для студентов средних и высших учебных заведений очной, заочной и дистанционной форм обучения.

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с государственным образовательным стандартом профессионального высшего образования РФ по дисциплине «Математика».

Теоретические основы математики

Элементы линейной и векторной алгебры

1. Матрицы
   1. Основные понятия о матрицах
   2. Действия над матрицами
2. Определители
   1. Определители второго порядка и их свойства
   2. Определители третьего порядка
   3. Определители n-го порядка
3. Обратная матрица
4. Системы линейных уравнений
   1. Основные понятия
   2. Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений
   3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
5. Элементы векторной алгебры
   1. Скалярные и векторные величины
   2. Линейные операции над векторами
   3. Угол между векторами. Проекция вектора на ось
   4. Линейная комбинация векторов. Базис
   5. Прямоугольная Декартова система координат
   6. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
   7. Скалярное произведение векторов
   8. Векторное произведение векторов
   9. Смешанное произведение векторов

Дифференциальные уравнения

• Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений
• Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
• Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах
• Однородные функции, однородные дифференциальные уравнения
• Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
• Уравнение Бернулли
• Уравнение в полных дифференциалах
• Интегрирующий множитель
• Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши
• Дифференциальные уравнения второго порядка, интегрируемые понижением порядка
• Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, свойства их решений
• Линейно-зависимые и независимые функции. Определитель Вронского
• Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
• Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
• Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
• Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью
• Системы дифференциальных уравнений
• Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка

Математические ряды

• Числовые ряды. Основные понятия
• Ряд геометрической прогрессии со знаменателем
• Остаток ряда
• Свойства, сходящихся числовых рядов
• Необходимый признак сходимости числового ряда
• Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
• Признак Даламбера
• Признак Коши
• Интегральный признак Коши
• Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
• Свойства абсолютно сходящихся рядов
• Знакочередующиеся ряды
• Функциональные ряды. Основные понятия
• Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
• Степенные ряды. Теорема Абеля
• Определение радиуса сходимости степенного ряда
• Схема определения интервала сходимости степенного ряда
• Характер сходимости степенного ряда
• Интегрирование и дифференцирование степенного ряда
• Ряды по степеням (x-x0)
• Ряды Тейлора и Маклорена
• Разложение в ряд Маклорена функции f(x)=ex
• Разложение в ряды Маклорена тригонометрических функций
• Биномиальный ряд
• Применение биномиального ряда к разложению функций в ряд Маклорена
• Вычисление значений функций при помощи рядов
• Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
• Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
• Тригонометрический ряд. Постановка задачи
• Определение коэффициентов ряда по методу Эйлера-Фурье
• Разложение функций в ряд Фурье
• Ряды Фурье для четных и нечетных функций
• Ряды Фурье для функции с периодом 2l
• О разложении в ряд Фурье непериодической функции

Теория вероятностей

• Предмет и история теории вероятностей
• Испытания и события. Классификация событий
• Относительная частота, ее свойства
• Статистическое определение вероятности
• Схема случаев. Классическое определение вероятности
• Элементы комбинаторики
• Геометрические вероятности
• Пространство элементарных событий
• Условные вероятности
• Теоремы сложения вероятностей
• Формула полной вероятности. Формула Байеса
• Последовательность независимых испытаний
• Схема и формула Бернулли
• Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа
• Предельная теорема Пуассона
• Виды случайных величин
• Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
• Биномиальное распределение
• Распределение Пуассона
• Геометрическое распределение
• Гипергеометрическое распределение
• Числовые характеристики дискретных случайных величин
• Математическое ожидание дискретной случайной величины
• Вероятностный смысл математического ожидания
• Свойства математического ожидания
• Дисперсия дискретной случайной величины
• Свойства дисперсии
• Среднее квадратическое отклонение
• Числовые характеристики основных распределений дискретных случайных величин
• Начальные и центральные теоретические моменты
• Функция распределения вероятностей случайной величины
• Свойства функции распределения
• Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
• Свойства плотности распределения
• Вероятностный смысл плотности распределения
• Числовые характеристики непрерывных случайных величин
• Другие числовые характеристики случайных величин
• Нормальное распределение
• Нормальная кривая
• Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
• Вычисление вероятности заданного отклонения
• Правило трех сигм
• Показательное распределение вероятностей
• Числовые характеристики показательного распределения
• Равномерное распределение вероятностей
• Закон больших чисел
• Неравенство Чебышева
• Теорема Чебышева
• Сущность и практическое значение теоремы Чебышева
• Теорема Бернулли
• Понятие о центральной предельной теореме
• Понятие о системе нескольких случайных величин
• Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
• Функция распределения двумерной случайной величины
• Свойства функции распределения двумерной случайной
• Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
• Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
• Плотность совместного распределения вероятностей
• Нахождение функции распределения системы
• Свойства двумерной плотности вероятности
• Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
• Условные законы распределения составляющих дискретных случайных величин
• Условные законы распределения составляющих непрерывных случайных величин
• Условное математическое ожидание
• Зависимые и независимые случайные величины
• Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
• Коррелированность и зависимость случайных величин
• Нормальный закон распределения на плоскости
• Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
• Линейная корреляция. Нормальная корреляция

Математическая статистика

• Предмет математической статистики и ее основные задачи. Выборка. Статистический ряд. Эмпирический закон распределения. Полигон и гистограмма
• Статистические оценки генеральных параметров. Точечные и интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии
• Проверка статистической гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
• Статистическая и корреляционная зависимости. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии
• Лабораторные работы по матстату
• Приложения матстатистики

Цель и задачи изучения математики

При изучении дисциплины обеспечивается фундаментальная подготовка студента по таким разделам математики как, линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, соблюдается связь с дисциплинами: вычислительная математика, информатика, физика; происходит знакомство со стержневыми проблемами математики, базовыми положениями, навыками и понятиями, обязательными для прочного усвоения последующих дисциплин и практического использования полученных знаний в решении конкретных задач, которые ставятся перед инженером.

Требования к уровню освоения математики

Студент должен знать

1. Символы математической логики. Понятие прямой и обратной теоремы. Понятие необходимого и достаточного условия.
2. Понятие функции одной и нескольких переменных. Область определения и область значения функции. Способы задания функций.
3. Понятие предела функции одной и нескольких переменных. Свойства пределов. Замечательные пределы.
4. Понятие бесконечно малой в точке функции.
5. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций.
6. Понятие производных и дифференциалов (первого порядка, высших порядков) функции одной переменной.
7. Понятие частных производных (первого порядка, высших порядков) функции нескольких переменных. Понятие дифференциала (первого порядка, высших порядков) функции нескольких переменных.
8. Понятие экстремума функции одной переменной (локального, глобального, безусловного и условного).
9. Понятие экстремума функции двух переменных.
10. Формулы Тейлора для функции одной переменной и для функции двух переменных.
11. Понятие первообразной функции одной переменной. Понятие и свойства неопределенного интеграла от функции одной переменной. Методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.
12. Понятие и свойства определенного интеграла от функции одной переменной. Понятие о несобственных интегралах. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
13. Понятие и свойства криволинейного, кратного и поверхностного .
14. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение, системы дифференциальных уравнений (каноническая, нормальная, автономная), решение дифференциального уравнения или системы, задача Коши, общий и частный интегралы дифференциального уравнения или системы.
15. Геометрические понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Поле касательных изоклин, векторная линия, интегральная кривая, фазовая плоскость (пространство), фазовый портрет.
16. Понятие устойчивости решения.
17. Основные задачи для уравнений в частных производных (математической физики), методы их решения. Понятие последовательности.
18. Понятие числового и функционального ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Область, радиус сходимости степенного ряда.
19. Основные положения гармонического анализа.
20. Основные понятия теории функции комплексной переменной.
21. Понятие о преобразовании Лапласа. Понятие оригинала и изображения.
22. Понятие случайного события. Алгебра событий.
23. Понятие вероятности события. Правила вычисления вероятностей.
24. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины, законы распределения, их графические изображения.
25. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, моменты.
26. Нормальный закон распределения, его графическое изображение и числовые характеристики.
27. Понятие повторных независимых испытаний. Биноминальный закон распределения.
28. Закон больших чисел.
29. Понятие генеральной и выборочной совокупности.
30. Выборочные характеристики случайных величин.
31. Понятие о точечной и интервальной оценке числовых характеристик случайных величин.
32. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия.
33. Критерии проверки гипотез.

Студент должен уметь

1. Задавать функции одной и нескольких переменных: аналитически, графически, таблично.
2. Вычислять пределы бесконечно малых или бесконечно больших функций одной и нескольких переменных.
3. Находить производные и дифференциалы (первого порядка и высших порядков) функции одной переменной.
4. Находить частные производные функции нескольких переменных.
5. Выполнять исследование функций одной и нескольких переменных, используя аппарат дифференциального исчисления.
6. Определять неопределенные интегралы от элементарных функций одной переменной. Вычислять средние значения функций, площади плоских фигур, длины дуг, криволинейные интегралы.
7. Вычислять кратные интегралы в различных системах координат.
8. Находить общее решение или общий интеграл дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, в полных дифференциалах. Находить частное решение или частный интеграл задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.
9. Сводить к дифференциальному уравнению первого порядка дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
10. Находить общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Находить частное решение задачи Коши для линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.
11. Представлять дифференциальное уравнение n-го порядка в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, и наоборот.
12. Разлагать функцию одной переменной в степенные ряды. Применять степенные ряды в приближенных вычислениях.
13. Разлагать функцию одной переменной в ряды Фурье.
14. Находить производную, интеграл функции комплексной переменной. Разлагать в ряд Лорана функцию комплексной переменной.
15. Интегрировать дифференциальные уравнения и системы операционным методом.
16. Вычислять вероятность события в классической схеме.
17. Вычислять числовые характеристики случайных величин.
18. Вычислять вероятность попадания в интервал значения случайной величины и пользоваться правилом «3-х сигм».
19. Вычислять выборочное среднее.
20. Определять точечные и интервальные оценки числовых характеристик случайных величин.