Случайная величина и ее числовые характеристики

Для теории вероятностей характерно то, что результаты рассматриваемых экспериментов можно представить числом, причем случайный характер исхода влечет и случайность этого числа.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам не известное.

Как видно из примеров по типу множества возможных значений случайные величины бывают дискретные, непрерывные и кусочно-непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Существует универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа: функцией распределения случайной величины X называется функция F(X), равная вероятности того, что X примет значение меньше, чем число x,то есть . Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Из определения следует: и .

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию f(X)=F'(X), которую называют плотностью распределения вероятностей (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Из определения следует:

.

Одна из числовых характеристик, фиксирующая положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения – математическое ожидание M(X).

Математическое ожидание вычисляется:

для дискретной случайной величины;

для непрерывной случайной величины.

Дисперсия D(X) — есть характеристика рассеяния, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия вычисляется:

для дискретной случайной величины;

для непрерывной случайной величины.

Иногда дисперсию удобно вычислять по следующей формуле:

.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому вводится еще одна характеристика рассеяния – среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. , где ;

2. , где ;

3. ;

4. , если взаимно независимые случайные величины.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1., где ;

2., где ;

3., если

независимые случайные величины.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.36. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 10 рублей. Написать закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X: . Вероятности этих возможных значений таковы:

,

,

.

Напишем искомый закон распределения

X 50 10 0
P 0,01 0,1 0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

ПРИМЕР 13.2.37. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выражением:

Найти: а) коэффициент a; б) найти плотность распределения f(X); в) найти вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5.

Решение. а) Для непрерывной случайной величины функция F(x) непрерывна, следовательно, , то есть , откуда .

б) Плотность распределения выражается формулой:

в) Воспользуемся формулой . Тогда,

.

ПРИМЕР 13.2.38. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X 4 6
P 0,5 0,3

Найти: а) и , зная, что ; б) дисперсию D(X).

Решение. а) Известно, что . Тогда . По определению математического ожидания ; ; , .

Закон распределения будет иметь вид:

X 4 6 21
P 0,5 0,3 0,2

б) Дисперсию можно вычислить двумя способами:

.

Для второго способа напишем закон распределения случайной величины :

16 36 441
P 0,5 0,3 0,2

,

.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для случайных величин

3.2.7.1. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули наугад 1 шар. Случайная величина X — число вынутых белых шаров.

Требуется:

а) построить ряд распределения СВ X;

б) построить функцию распределения СВ X;

в) найти M(X) и D(X).

Отв.:

a)

X 0 1
P 5/6 1/6

б), в).

3.2.7.2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных. Найти M(X), D(X).

Отв.:

3.2.7.3. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: , . Найти M(X), D(X) и среднее квадратическое отклонение СВ X — числа отказавших приборов.

Отв.:1,8; 0,94; 0,97

3.2.7.4. Случайная величина X — может принимать два возможных значения: с вероятностью 0,3 и с вероятностью 0,7; причем . Найти и , зная, что и .

Отв.:

3.2.7.5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X : , а также известно, что . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

Отв.:

3.2.7.6. Даны независимые случайные величины X и Y.

X -1 0 1 Y 2 4
P 0,2 0,5 0,3 P 0,3 0,7

Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин: а)X+Y; б)2X-3Y ; в)X-Y+5 .

Отв.:

3.2.7.7. Брошены n игральных костей. Случайная величина X — сумма числа очков, которые выпадут на всех гранях. Найти: а) M(X); б) D(X).

Отв.:

3.2.7.8. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,9. Найти M(X) дискретной случайной величины X — числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

Отв.:

3.2.7.9. Вероятность того, что в обувном магазине есть обувь, подходящей для покупателя модели, равна 0,6, а вероятность наличия обуви подходящего размера равна 0,8. Построить функцию распределения случайной величины X – числа обувных магазинов, которые посетит покупатель, если в городе три магазина.

Отв.:

X 1 2 3
P

3.2.7.10. Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Найти закон распределения случайной величины Х — числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X) и .

Отв.:

X 1 2 3 4 5 6
P

M(X)=3,5;=

3.2.7.11. Два баскетболиста независимо друг от друга делают по одному броску в одну корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0,6 и 0,9 соответственно. Найти закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в корзину. Найти M(X) и D(X).

Отв.:

X 0 1 2
P

M(X)=1,5;D(X)=1,08

3.2.7.12. Вероятность того, что на АЗС есть в наличии бензин марки Аи-95, необходимый автомобилисту, равна 0,9. Построить функцию распределения случайной величины X – числа АЗС, которые посетит автомобилист, если в городе пять АЗС. Найти M(X), D(X).

Отв.:

X 1 2 3 4 5
P 0,9 0,09 0,009 0,0009 0,00001

M(X)=1,1111;D(X)=0,123

3.2.7.13. Случайная величина X — задана функцией распределения

Найти:

а) параметры C и D;

б) плотность распределения f(x) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) M(X); ж) D(X).

Отв.:

3.2.7.14. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X — ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 3/4).

Отв.:0,25

3.2.7.15. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ox функцией
.

Найти постоянный параметр C.

Отв.:

3.2.7.16. Случайная величина X — задана плотностью распределения

Найти: а) математическое ожидание и дисперсию СВ X; б) установить, что вероятнее: в результате испытания окажется X < 1 или X > 1.

Отв.:

3.2.7.17. Функция распределения случайной величины X — задана формулой . Найти: а) постоянные и ; б) плотность распределения; в) вероятность того, что СВ X попадет на отрезок [-1;1] ; г)математическое ожидание и дисперсию СВ X.

Отв.: математическое ожидание не существует, а дисперсия бесконечна;

3.2.7.18. Случайная величина X имеет плотность распределения

Требуется а) Построить функцию распределения F(X).
б) Найти вероятность того, что в результате испытания .

Отв.:

3.2.7.19. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.

Отв.:2,5

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >