Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши

Помощь по математике

Все дифференциальные уравнения порядка выше первого называют дифференциальными уравнениями высших порядков. Как мы уже знаем, порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, входящей в состав уравнения; таким образом, можно дать следующее определение – определение дифференциального уравнения порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.11 Дифференциальными уравнениями порядка называются уравнения, связывающие независимую переменную, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции до го порядка включительно.

Его общий вид

или, предполагая уравнение разрешенным относительно старшей производной,

(11.1.15)

Функция или может и не зависеть от некоторых из аргументов x,y , но во всех случаях уравнение го порядка должно содержать производную го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.12 Решением дифференциального уравнения (11.1.15) называется всякая функция , которая удовлетворяет этому уравнению, то есть

.

Решение уравнения (11.1.15) может быть задано также в неявном виде: . График решения уравнения (11.1.15) называется интегральной кривой.

Задача Коши для уравнения ставится так. Найти решение уравнения (11.1.15), удовлетворяющее начальным условиям

при (11.1.16)

где заданные числа.

В случае уравнения второго порядка начальные условия имеют вид при , то есть в точке задаются значения искомой функции к ее первой производной . Геометрически в задаче Коши речь идет о нахождении интегральной кривой , проходящей через заданную точку и имеющей в этой точке заданный наклон касательной (рис. 11.5).

Возникает вопрос: можно ли по виду правой части уравнения

сказать, имеет ли оно решение, удовлетворяющее начальным условиям (11.1.16), и будет ли это решение единственным? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема существования и единственности решения.

ТЕОРЕМА 11.1.4 Если в уравнении (1) функция удовлетворяет следующим условиям:

1) она непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области их изменения;

2) существуют частные производные в области и они ограничены то уравнение (11.1.15) имеет единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям (11.1.16).

ПРИМЕР 11.1.19 Для уравнения существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Таким решением будет . Других решений, удовлетворяющих этим начальным условиям, нет.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.13 Функция

(11.1.17)

называется общим решением уравнения (1) в некоторой области изменения переменных , если она удовлетворяет условиям:

1) система уравнений

(11.1.18)

разрешима в области относительно произвольных постоянных , так что мы имеем

2) функция (11.1.17) является решением дифференциального уравнения при всех значениях произвольных постоянных.

Всякое решение, получающееся из общего решения (11.1.17) при конкретных числовых значениях произвольных постоянных , называется частным решением.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Онлайн помощь по математике школьникам и студентам. Помощь на экзаменах, решение задач и контрольные работы на заказ


Помощь в учебе
по всем предметам


Выполняем:
Любые учебные работы
Решение задач
Онлайн помощь