ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.10 Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно (то есть первой степени) относительно искомой функции и ее производной.
Общий вид линейного уравнения
, (11.1.12)
где и
непрерывные функции в некотором промежутке.
Если правая часть уравнения , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Однородное уравнение имеет вид
. (11.1.13)
Уравнение (11.1.13) не требует специального рассмотрения, поскольку оно является уравнением с разделяющимися переменными.
Произведем в уравнении (11.1.12) замену функции, положив .
Тем самым вместо в качестве искомой функции введем новую функцию, например,
. Поэтому вторую функцию
можно рассматривать как вспомогательное и выбирать его по своему усмотрению. Это и будет сделано в дальнейшем (будем считать, что
и
дифференцируемые функции).
Вычислим и подставим выражения
и
через
и
в уравнение (1). Так как
, то уравнение (11.1.12) примет вид
. (11.1.14)
Пользуясь тем, что функция может быть выбрано произвольно, выберем ее так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, то есть потребуем, чтобы
. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим
, откуда, интегрируя, имеем:
или .
Так как ищем частное решение, можно положить , тогда
. (11.1.15)
Подставив выражение в уравнение (3), получим для
уравнение с разделяющимися переменными
;(11.1.16)
Формулы (11.1.15) и (11.1.16) дают выражение и
через
; так как нам нужно найти зависимость
от
; а
, то окончательно получим
.
Это есть общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка, то есть уравнения (11.1.12).
ПРИМЕР 11.1.15
Решение.
Здесь . Сделаем подстановку
, отсюда
; подставляя
и
в данное уравнение, получим
. Подберем функцию
таким образом, чтобы
. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и, проинтегрировав, получим
или
при
.
Итак, общее решение данного уравнения.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >