Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, свойства их решений

Помощь по математике Дифференциальные уравнения Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, свойства их решений
Получить решение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.14 Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производных , то есть

,    (11.1.18)

где и заданные непрерывные функции в заданном интервале.

Задача Коши для дифференциального уравнения (11.1.18) имеет единственное решение в интервале непрерывности функции и .

Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение (11.1.18) имеет вид

(11.1.19)

и называется линейным однородным.

Изучим свойства решений уравнения (11.1.19). Эти свойства сформулируем в виде теорем.

ТЕОРЕМА 11.1.5 Если два решения линейного однородного уравнения второго порядка (11.1.19), то также решение этого уравнения.

Доказательство.

Функции y1y2 являются решением уравнения (11.1.19), а

(11.1.20)

(11.1.21)

Подставляя в уравнение (11.1.19) сумму и учитывая равенства (11.1.20), (11.1.21), получаем

.

Отсюда следует, что является решением уравнения (11.1.19).

ТЕОРЕМА 11.1.6 Если является решением уравнения и постоянная, то также является его решением.

Доказательство. Подставляя в уравнение (11.1.19) произведение , получим:

.

Отсюда следует, что c1*Y1 является решением уравнения (11.1.19).

ТЕОРЕМА 11.1.7 Если комплексно-значная функция является решением уравнения (11.1.19), то функции также являются  решениями этого уравнения.

Доказательство. Действительно, подставляя функцию в уравнение (11.1.19), имеем

или  .

Но комплексно-значная функция равна нулю тогда и только тогда, когда равны нулю ee действительная и мнимая части, то есть

Отсюда следует, что функции являются решениями уравнения (11.1.19).

Следствие. Если являются решениями уравнения (11.1.19) и постоянные, то является также его решением.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Получить решение по теме

Сохранить или поделиться
Вы находитесь здесь:
Помощь по математике Дифференциальные уравнения Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, свойства их решений

У нас можно заказать решение задач
и онлайн помощь на экзаменах

Математика - решение задач и помощь онлайн 24/7