В лабораторной работе №1 в результате первичной обработки исходных данных получено эмпирическое распределение (табл. 14.2.3) и по данным этой таблицы построен полигон относительных частот. Относительные частоты иногда называют эмпирическими вероятностями. Из визуального наблюдения полигона можно сделать один из следующих выводов:
Гипотеза : Генеральная совокупность распределена по нормальному закону;
Гипотеза : Генеральная совокупность распределена по
показательному закону;
Гипотеза : Генеральная совокупность распределена по равномерному закону.
Гипотеза .
Для того, чтобы при заданном уровне значимости (
доверительная вероятность, то есть вероятность принять верную гипотезу;
это вероятность отвергнуть верную гипотезу
), проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности надо:
1. Вычислить (лабораторная работа № 2).
2. Вычислить теоретические вероятности . Поскольку плотность распределения для нормального закона есть
. (14.2.12)
Тогда
(14.2.13)
где границы частичных интервалов;
середина
го частичного интервала;
длина частичного интервала (см. формулу (14.2.2)).
3. Составим сводную таблицу на основе данных табл. 14.2.3 и рассчитанных теоретических вероятностей:
Таблица 14.2.6
![]() |
![]() |
![]() |
… | ![]() |
… | ![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
… | ![]() |
… | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
… | ![]() |
… | ![]() |
![]() |
4. Оценку отклонения эмпирических вероятностей от теоретических вероятностей
производим с помощью критерия Пирсона
:
. (14.2.14)
5. По таблице критических точек распределения (приложение 4) по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
(
количество подынтервалов) находим критическое значение
правосторонней критической области.
Правило 14.2.1 Если , тогда нет оснований отвергать гипотезу
о нормальном распределении генеральной совокупности (то есть эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).
Правило 14.2.2 Если , тогда гипотезу
отвергаем.
Гипотеза .
Для того, чтобы при заданном уровне значимости , проверить гипотезу о показательном распределении генеральной совокупности надо:
1. Вычислить (лабораторная работа № 1). Принять в качестве оценки параметра
показательного распределения величину, обратную выборочной средней:
. (14.2.15)
2. Вычислить теоретические вероятности . Поскольку плотность распределения для показательного (экспоненциального) закона есть
(14.2.16)
тогда
,
где границы частичных интервалов;
вычисляем по формуле (14.2.15).
3. Составим сводную таблицу на основе данных табл. 14.2.3 и рассчитанных теоретических вероятностей (см. табл. 14.2.6).
4. Оценку отклонения эмпирических вероятностей от теоретических вероятностей
производим с помощью критерия Пирсона
(формула (14.2.14)).
5. По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости
и по числу степеней свободы
(
количество подынтервалов) находим критическое значение
правосторонней критической области (см. Приложение 4).
Далее анализируем в соответствии с правилами 14.2.1 и 14.2.2 (для предыдущей гипотезы).
Гипотеза .
Для того, чтобы при заданном уровне значимости , проверить гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности надо:
1. Оценить параметры и
концы интервала, в котором наблюдались возможные значения
, по формулам (через
и
обозначены оценки параметров):
. (14.2.17)
2. Вычислить теоретические частоты . Поскольку плотность распределения для равномерного закона есть
, (14.2.18)
тогда
(14.2.19)
где границы частичных интервалов;
длина частичных интервалов.
Получили, что все равны одному числу
.
3. Составим сводную таблицу на основе эмпирических вероятностей и рассчитанных теоретических вероятностей (см. табл. 14.2.6).
4. Оценку отклонения эмпирических вероятностей от теоретических вероятностей
производим с помощью критерия Пирсона
(формула (14.2.14)).
5. По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости
и по числу степеней свободы
(
количество подынтервалов) находим критические значения
правосторонней критической области.
Далее анализируем в соответствии с правилами 14.2.1 и 14.2.2 (см. Гипотезу А).
Замечание 14.2.1. После составления таблицы 5 необходимо сделать на одном рисунке два графика: ломаную эмпирических вероятностей и кривую теоретических вероятностей.
Замечание 14.2.2. Здесь же на этом рисунке рекомендуется нанести:
а) ; б) доверительный интервал, построенный для одной из доверительных вероятностей
(например, для
); в) интервал, построенный по правилу «3-х сигм».
Замечание 14.2.3. Данный рисунок является наглядным результатом работы, проделанной в Л.Р. 1,2,3.
ПРИМЕР 14.2.3. Используя критерий согласия Пирсона при уровне значимости , проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
1) Переносим из лабораторной работы № 1 полигон распределения относительных частот и табл. 14.2.5.
![]() |
130,6 | 290 | 449,3 | 608,6 | 768 | 927,3 | 1086,6 | 1246 | 1405 |
![]() |
0,06 | 0,14 | 0,25 | 0,18 | 0,16 | 0,1 | 0,05 | 0,03 | 0,03 |
2) Из визуального наблюдения ломаной делаем предположение (ставим гипотезу) о законе распределения генеральной совокупности, то есть ставим гипотезу : выборка распределена по нормальному закону.
3) Вычислим теоретические вероятности . Для этого записываем функцию плотности
для нормального закона:
.
Соответственно или
. Тогда
.
;
;
4) Составляем табл. 14.2.7 распределения теоретических вероятностей.
Таблица 14.2.7
![]() |
130,6 | 290 | 449,3 | 608,6 | 768 | 927,3 | 1086,6 | 1246 | 1405 |
![]() |
0,06 | 0,14 | 0,25 | 0,18 | 0,16 | 0,1 | 0,05 | 0,03 | 0,03 |
![]() |
0,05 | 0,105 | 0,162 | 0,19 | 0,17 | 0,11 | 0,06 | 0,02 | 0,007 |
Отметим теоретические вероятности на полигоне относительных частот.
5) Рассчитаем значение критерия .
.
6) Из таблицы «Критические точки распределения » находим соответствующее нашим значениям
.
.
.
Сравниваем и
. Так как
, то гипотеза
(выборка распределена по нормальному закону) принимается, по правилу 14.2.1.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >