ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.7 Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых зависит от
, а другая от
.
.
Предположим, что функции и
непрерывны на интервале
и что
.
Умножая обе части уравнения на
и деля на
, запишем его в виде:
.
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению , которое представляет собой общий интеграл данного уравнения в указанной области.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.8 Дифференциальное уравнение
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в симметричной относительно
и
дифференциальной форме.
Функции непрерывны соответственно в интервалах
и не равны тождественно нулю.
Для нахождения всех решений такого уравнения достаточно разделить обе части уравнения на произведение и проинтегрировать полученное соотношение:
. Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения, где
произвольная постоянная.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.9 Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
Почленное интегрирование данного уравнения приводит к соотношению , которое определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения.
ПРИМЕР 11.2.1. Найти общее решение уравнения .
Решение.
Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными функции
и
непрерывна всюду и
.
Разделяя переменными и интегрируя , получим
общий интеграл данного уравнения во всей плоскости
.
Разрешая относительно , находим общее решение
,
.
ПРИМЕР 11.2.2. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение.
Преобразуем данное уравнение
. Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными в дифференциальной форме симметричное относительно
и
.
Функции и
не равны нулю в рассматриваемой области. Разделим обе части уравнения на
, получим
.
, где
. Получили общий интеграл.
ПРИМЕР 11.2.3. Проинтегрировать уравнение .
Решение.
Данное уравнение — есть уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем данное уравнение
(так как левая часть выражается через натуральный логарифм, то постоянную
удобнее в данном случае записать как
).
общее решение, с геометрической точки зрения определяет семейство гипербол.
ПРИМЕР 11.2.4. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
Решение.
Пусть уравнение искомой кривой,
произвольная точка кривой.
рис 11.2.1
, т.е.
. Из
, так как
, то
, тогда
. Получили дифференциальное уравнение с разделяющими переменными, интегрируя его, получим
семейство интегральных кривых, удовлетворяющих условию задачи.
ПРИМЕР 11.2.5. Материальная точка с массой г погружается в жидкость без начальной скорости. Сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения
. Коэффициент пропорциональности
. Найти зависимость погружения от времени.
Решение.
В момент времени точка находится под действием силы тяжести
и силы сопротивления жидкости
. Сила P направлена в сторону движения, а
в сторону противоположную движению, поэтому их равнодействующая
.
Так как материальная точка погружается в жидкость под действием силы , то по второму закону Ньютона эта же сила равна
. Приравнивая оба выражения для
, получим
, но по условию
г, а
.
сократим на
,
.
Получили уравнение с разделяющими переменными. Разделив переменные и проинтегрировав, получим
.
.
;
;
;
или
, где
.
Для нахождения воспользуемся начальным условием
.
.Тогда частное решение будет иметь вид
.
Задачи и примеры для самостоятельного решения
Решите уравнения:
11.2.5 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.6 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.7 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.8 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.9 ![]() |
Отв. ![]() |
Найти частные решения уравнений | |
11.2.10 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.11 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.12 ![]() ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.13 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.14 Кривая проходит через точку
. В произвольной точке этой кривой проведена касательная. Точка пересечения касательной с осью
имеет абсциссу вдвое большую, чем абсцисса точки касания. Найти кривую.
Ответ:
11.2.15 Составить уравнение кривой, проходящей через точку , если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания.
Ответ: .
11.2.16 Найти время, в течение которого вся вода вытекает из конической воронки, если известно, что половина воды вытекает в мин.
Ответ: мин.
11.2.17 В комнате, где температура , некоторое тело остыло за
мин от
до
. Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до
? Повышением температуры в комнате пренебречь.
Ответ: мин.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >