ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.14 Уравнение вида линейное относительно искомой функции
и ее производной
входят в уравнение в первых степенях, не перемножаясь между собой) называется линейным.
Если , то уравнение называется линейным неоднородным, если
линейное однородное.
Общее решение уравнения легко получается разделением переменных:
;
, где
.; (11.2.1)
Рассмотрим два способа решения уравнения
.;;(11.2.2)
1. Способ подстановки.
Полагая и
уравнение (11.2.2) преобразуется в уравнение
или
.
Подберем v таким образом, чтобы уравнение
, тогда
или
. Так как
, то
.
Замечание. Если линейное уравнение линейно относительно и x'(y), т.е. имеет вид
, то общее решение его находится подстановкой
.
ПРИМЕР 11.2.36 Решить уравнение линейное неоднородное уравнение.
Решение.
Функции и
непрерывны повсюду.
Делаем замену
или
. Подбираем
таким образом, чтобы
или
. Найденное
подставляем в уравнение
получим:
или
. Разделяя переменные и интегрируя, имеем
.
Таким образом, .
Ответ: общее решение.
2. Метод вариации произвольной постоянной.
По методу вариации произвольной постоянной решение уравнения (11.2.2) будем искать, как решение соответствующего однородного уравнения в виде
, только C будем считать функцией от
,
. Эта функция должна быть такова, чтобы при подстановке
и
в уравнение (11.2.2) оно обращалось в тождество.
ПРИМЕР 11.2.37 Найти общее решение уравнения .
Решение.
Приведем уравнение к виду линейное неоднородное уравнение первого порядка. Решим его по методу вариации произвольной постоянной. Первоначально, решаем однородное уравнение
. Разделяя переменные, получим
,
.
По методу вариации общее решение будем искать в виде ,
. Подставим
и
в данное уравнение.
интегрируя, получим:
. Таким образом,
.
Ответ: общее решение.
Примеры и задачи для самостоятельного решения:
Решить уравнения
11.2.38 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.39 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.40 ![]() |
Отв.![]() |
11.2.41![]() |
Отв. ![]() |
11.2.42 ![]() |
Отв. ![]() |
Найти частное решение уравнений | |
11.2.43 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.44 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.45 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.46 Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.
Отв.
11.2.47 Найти линию, у которой площадь треугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть величина постоянная, равная .
Отв.
11.2.48 Точка массой равной m движется прямолинейно, на нее действует сила, пропорциональная времени , прошедшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости
. Найти зависимость скорости от времени.
Отв.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >