В данном параграфе речь пойдет о линейных неоднородных дифференциальных уравнениях n-го порядка с постоянными коэффициентами вида
.(11.2.13)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.23 Если функция правой части не тождественный нуль, такие уравнения называют неоднородными или уравнениями с правой частью.
Коэффициенты известные константы (в данном параграфе это замечание не принципиально – все выкладки имеют место и в случае зависящих от
коэффициентов).
Общее решение уравнения (11.2.13) представляет собой сумму
, (11.2.14)
где — какое-либо частное решение неоднородного уравнения,
— общее решение однородного уравнения при
.
. (11.2.15)
Пусть фундаментальная система решений однородного уравнения известна: . Тогда общее решение однородного уравнения можно выписать
Таким образом, для построения общего решения необходимо найти какое-либо частное решение
.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения можно пользоваться методом вариации произвольных постоянных. Он заключается в следующем. Решение уравнения (11.2.13) находится в виде линейной комбинации функций с коэффициентами, уже зависящими от
:
Производные от функций определяются из линейной алгебраической системы вида
(11.2.16)
где f(x) – правая часть уравнения (11.2.13). Вывод этой формулы можно найти в учебниках.
Определитель системы равен вронскиану и в нуль не обращается. Это обеспечивает однозначную разрешимость системы. Тем или иным методом линейной алгебры можно получить выражения для
; сами функции восстанавливаются интегрированием. В частности для дифференциального уравнения второго порядка система имеет вид.
(11.2.17)
Неизвестные и
определяются по формулам Крамера
,
(11.2.18)
Решения выписываются через интегралы
,
(11.2.19)
ПРИМЕР 11.2.116 Найти общее решение уравнения .
Решение.
Общее решение по теореме о структуре решений, имеет вид .
находим при решении однородного уравнения
. Составим характеристическое уравнение
общее решение однородного уравнения будет иметь вид
, где
и
. Частное решение данного уравнения по методу вариации будет иметь вид
.
Составим систему .
Вычислим главный определитель системы
система имеет единственное решение, по формулам Крамера имеем
;
.
. Интегрируя последнее равенство, найдем
и
.
Запишем частное решение неоднородного уравнения , тогда общее решение будет иметь вид
.
Задачи и примеры для самостоятельного решения
Найти общее решение дифференциальных уравнений
11.2.117 .
Отв.
11.2.118 .
Отв. .
11.2.119 .
Отв. .
11.2.120 .
Отв. .
11.2.121 .
Отв. .
11.2.122 .
Отв. .
11.2.123 .
Отв. .
11.2.124 Найти решение уравнения , удовлетворяющее краевым условиям
.
Отв. .
Замечание. Краевые условия – это условия заданные на концах некоторого промежутка, их число не должно превышать порядка уравнения.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >