ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.10 Функция называется однородной
го измерения относительно своих аргументов
и
, если для любого значения
имеет место тождество
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.11 Функция называется однородной нулевого измерения относительно
и
, если для любого
имеет место равенство
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.12 Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно
и
, если
является однородной функцией нулевого измерения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.13 Дифференциальное уравнение называется однородным, если
и
однородные функции одного измерения.
Однородное уравнение может быть приведено к виду . С помощью подстановки
, оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции
.
ПРИМЕР 11.2.18 Найти общее решение уравнения .
Решение.
Функция является однородной функцией нулевого измерения, так как
. Значит данное уравнение однородное. Сделаем замену
,
и подставим в уравнение, получим
.
или
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим .
, или
, где
.
где
.
Возвращаясь к прежней неизвестной функции , получаем окончательный ответ
или
общий интеграл данного уравнения.
ПРИМЕР 11.2.19 Найти частное решение уравнения
,
.
Решение.
В данном случае , а
. Обе функции — однородные четвертого измерения. Значит данное уравнение однородное. Введем подстановку
. Тогда уравнение примет вид
,
;
интегрируя, получим
;
;
. Возвращаясь к прежней неизвестной и используя начальные условия, получим
,
,
. Сокращая на
, окончательно имеем
или
.
ПРИМЕР 11.2.20 Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1,1), если известно, что произведение абсциссы любой точки кривой на угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равно удвоенной сумме координат точки.
Решение.
Пусть точка касания, тогда угловой коэффициент касательной, проведенной в точке
равен
. По условию задачи
. Получили однородное уравнение. Сделаем подстановку
. Интегрируя, получим
но
.
Итак, . Это уравнение параболы с вершиной в точке
и пересекающая ось
в точках
и
.
Задачи и примеры для самостоятельного решения
Решить уравнения | ||
11.2.21 ![]() |
Отв.: ![]() |
|
11.2.22 ![]() |
Отв.: ![]() |
|
11.2.23 ![]() |
Отв.: ![]() |
|
Найти частные решения дифференциальных уравнений | ||
11.2.24 ![]() |
Отв.: ![]() |
|
11.2.25 ![]() |
Отв.: ![]() |
|
11.2.26 ![]() |
Отв.: ![]() |
11.2.27 Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.
Ответ: .
11.2.28 Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной равна соответствующей поднормали.
Ответ: .
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >