Решения функциональных рядов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.5 Выражение где функции, заданные на одном и том же множестве , называется функциональным рядом с общим членом .

Если в функциональном ряду

(12.2.2)

переменную x заменить любым числом x₀ X, то получим числовой ряд

Помощь с решением

Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений. В зависимости от значения, принимаемого переменной , числовой ряд (12.30) может сходиться или расходиться.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.6 Функциональный ряд (12.2.2) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд .

Подобно числовым рядам в функциональных рядах вводится понятие частичной суммы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.7 Частичными суммами ряда называются функции

. (12.2.3)

Итак, если частичные суммы ряда (12.2.3), то определение 6 можно сформулировать следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.8 Функциональный ряд (12.2.3) называется сходящимся в точке , если в этой точке сходится последовательность его частичных сумм.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.9 Множество значений переменной , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.10 Предел частичных сумм сходящегося на множестве ряда (12.2.2) называется его суммой .

.(12.2.4)

ПРИМЕР 12.2.10 Функциональный ряд при каждом представляет убывающую геометрическую прогрессию. Значит, если , ряд сходится. Если , то ряд расходится. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех тех значений переменной , для которых .

Для определения области сходимости функционального ряда можно применять известные достаточные признаки сходимости числовых рядов.

ПРИМЕР 12.1.11 Определить область сходимости функционального ряда

Для установления области сходимости применим признак Даламбера

так как .

Область сходимости ряда или , а для всех , ряд расходится. Остается исследовать сходимость на границе области при . Для этого в функциональный ряд вместо подставим и ; в результате получим числовой ряд при .

Применим необходимый признак сходимости ряда ; тогда . Необходимый признак не выполняется, значит при ряд расходится.

При получаем ряд

, для которого . Тогда областью сходимости функционального ряда является интервал .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.11 Ряд , сходящийся для всех из области , называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа существует такой не зависящий от , номер , что при неравенство выполняется одновременно для всех .

ТЕОРЕМА 12.2.5 (Признак Вейерштрасса).

Пусть даны два ряда: функциональный , членами которого являются функции , определенные на множестве , и числовой ряд . Если числовой ряд сходится и для выполняется неравенство , то функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на множестве .

ПРИМЕР 12.2.12 Доказать, что функциональный ряд сходится равномерно на всей числовой оси.

Решение.

Для всех , а числовой ряд с м членом , то есть сходится. Значит ряд по теореме Вейерштрасса равномерно сходится на всей числовой оси.

ТЕОРЕМА 12.2.6 Почленное интегрирование функциональных рядов.

Если функции непрерывны на отрезке и составленный из них ряд сходится равномерно на этом отрезке, и имеет суммой функцию , то ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке , также сходится и имеет суммой функцию , где .

ПРИМЕР 12.2.13 Функциональный ряд сходится равномерно при , так как при ряд является геометрической прогрессией со знаменателем меньше , сумма его равна .

Проинтегрируем данный ряд от до , в результате чего получим ряд

Полученный ряд сходится равномерно при , согласно признаку Вейерштрасса. Тогда сумма полученного ряда .

ТЕОРЕМА 12.2.7 Почленное дифференцирование функциональных рядов Пусть ряд сходится на отрезке и имеет сумму , а его члены имеют на этом отрезке непрерывные производные, причем ряд, составленный из этих производных , сходится равномерно на и имеет сумму . Тогда функциональный ряд сходится на отрезке равномерно и производная его суммы равна сумме ряда , то есть .

ПРИМЕР 12.2.14 Дан сходящийся на всей числовой оси функциональный ряд , сумма которого . Ряд, составленный из производных, то есть полученный из данного дифференцированием его членов , равномерно сходится на всей числовой оси, согласно признаку Вейерштрасса.