ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.5 Выражение
где
функции, заданные на одном и том же множестве
, называется функциональным рядом с общим членом
.
Если в функциональном ряду
(12.2.2)
переменную x заменить любым числом x0 X, то получим числовой ряд
Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений. В зависимости от значения, принимаемого переменной , числовой ряд (12.30) может сходиться или расходиться.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.6 Функциональный ряд (12.2.2) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд
.
Подобно числовым рядам в функциональных рядах вводится понятие частичной суммы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.7 Частичными суммами ряда называются функции
. (12.2.3)
Итак, если частичные суммы ряда (12.2.3), то определение 6 можно сформулировать следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.8 Функциональный ряд (12.2.3) называется сходящимся в точке , если в этой точке сходится последовательность его частичных сумм.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.9 Множество значений переменной , при которых функциональный ряд
сходится, называется областью сходимости этого ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.10 Предел частичных сумм сходящегося на множестве ряда (12.2.2) называется его суммой
.
.(12.2.4)
ПРИМЕР 12.2.10 Функциональный ряд при каждом
представляет убывающую геометрическую прогрессию. Значит, если
, ряд сходится. Если
, то ряд расходится. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех тех значений переменной
, для которых
.
Для определения области сходимости функционального ряда можно применять известные достаточные признаки сходимости числовых рядов.
ПРИМЕР 12.1.11 Определить область сходимости функционального ряда
.
Для установления области сходимости применим признак Даламбера
,
так как .
Область сходимости ряда или
, а для всех
,
ряд расходится. Остается исследовать сходимость на границе области при
. Для этого в функциональный ряд вместо
подставим
и
; в результате получим числовой ряд при
.
Применим необходимый признак сходимости ряда ; тогда
. Необходимый признак не выполняется, значит при
ряд расходится.
При получаем ряд
, для которого
. Тогда областью сходимости функционального ряда является интервал
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.11 Ряд , сходящийся для всех
из области
, называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа
существует такой не зависящий от
, номер
, что при
неравенство
выполняется одновременно для всех
.
ТЕОРЕМА 12.2.5 (Признак Вейерштрасса).
Пусть даны два ряда: функциональный , членами которого являются функции
, определенные на множестве
, и числовой ряд
. Если числовой ряд сходится и для
выполняется неравенство
, то функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на множестве
.
ПРИМЕР 12.2.12 Доказать, что функциональный ряд сходится равномерно на всей числовой оси.
Решение.
Для всех , а числовой ряд с
м членом
, то есть
сходится. Значит ряд
по теореме Вейерштрасса равномерно сходится на всей числовой оси.
ТЕОРЕМА 12.2.6 Почленное интегрирование функциональных рядов.
Если функции непрерывны на отрезке
и составленный из них ряд
сходится равномерно на этом отрезке, и имеет суммой функцию
, то ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке
, также сходится и имеет суммой функцию
, где
.
ПРИМЕР 12.2.13 Функциональный ряд сходится равномерно при
, так как при
ряд является геометрической прогрессией со знаменателем меньше
, сумма его равна
.
Проинтегрируем данный ряд от до
, в результате чего получим ряд
.
Полученный ряд сходится равномерно при , согласно признаку Вейерштрасса. Тогда сумма полученного ряда
.
ТЕОРЕМА 12.2.7 Почленное дифференцирование функциональных рядов Пусть ряд сходится на отрезке
и имеет сумму
, а его члены имеют на этом отрезке непрерывные производные, причем ряд, составленный из этих производных
, сходится равномерно на
и имеет сумму
. Тогда функциональный ряд
сходится на отрезке
равномерно и производная его суммы равна сумме ряда
, то есть
.
ПРИМЕР 12.2.14 Дан сходящийся на всей числовой оси функциональный ряд , сумма которого
. Ряд, составленный из производных, то есть полученный из данного дифференцированием его членов
, равномерно сходится на всей числовой оси, согласно признаку Вейерштрасса.
Покажем, что , где
сумма ряда
. Данный
ряд и ряд
удовлетворяют условиям теоремы 12.10
Следовательно, по доказанной теореме , то есть
равна
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >