Числовые характеристики системы двух случайных величин

Пусть дана система двух дискретных случайных величин , возможные значения СВ , СВ , соответствующее вероятности .

Тогда математические ожидания и дисперсии составляющих случайных величин

Если система двух непрерывных случайных величин задана плотностью вероятностей , то

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу

для непрерывных величин – формулу

Коэффициентом корреляции величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Для независимых случайных величин выполняются следующие свойства:

1. ,

2. .

Корреляционный момент и коэффициент корреляции служат для характеристики связи между величинами X и Y.

Если X и Y независимы, то корреляционный момент равен нулю. Обратное не всегда верно: если , то не всегда X и Y независимые случайные величины.

Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и Y. Если между случайными величинами существует строгая функциональная линейная зависимость: , то при и при , причем, чем ближе абсолютная величина к единице, тем линейная связь сильнее. Если , это означает только отсутствие линейной связи между случайными величинами; любой другой вид связи может при этом присутствовать.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 13.2.53. Матрица распределения системы двух дискретных случайных величин задана таблицей

X\Y	0	2	5
1	0,1	0,1	0,2
2	0,2	0,3	0,1

Найти числовые характеристики системы .

Решение.

ПРИМЕР 13.2.54. Пусть область D возможных значений двумерной случайной величины – треугольник с границами .Плотность распределения имеет вид . Найдем числовые характеристики системы.

Решение.

что показывает, что между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость, то есть при увеличении одной из них другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета числовых характеристик системы двух случайных величин

3.2.12.1. Закон распределения двумерной случайной величины:

X\Y	0	2
0	0,15	0,25
1	0,2	0,15
2	0,05	0,20

а) Определить закон распределения случайной компоненты X. Найти M(X) и D(X).

б) Проделать то же самое для случайной компоненты Y.

в) Найти коэффициент корреляции.

Отв.:

X	0	1	2
P	0,4	0,35	0,25

Y	0	2
P	0,4	0,6

3.2.12.2. Бросаются две неразличимые игральные кости. Пусть X — сумма выпавших очков, а Y — разность между большим и меньшим числом очков на костях.

а) Построить двумерный ряд распределения.

б) Определить математическое ожидание и дисперсию компонент.

в) Найти коэффициент корреляции системы (X,Y).

Отв.:

X\Y	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36
1	0	2/36	0	2/36	0	2/36	0	2/36	0	2/36	0
2	0	0	2/36	0	2/36	0	2/36	0	2/36	0	0
3	0	0	0	2/36	0	2/36	0	2/36	0	0	0
4	0	0	0	0	2/36	0	2/36	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0	2/36	0	0	0	0	0

3.2.12.3. Решить предыдущую задачу в предположении, что кости помеченные, а СВ Y — разность очков на костях.

Отв.:

X\Y	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
-5	0	0	0	0	0	1/36	0	0	0	0	0
-4	0	0	0	0	1/36	0	1/36	0	0	0	0
-3	0	0	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	0	0
-2	0	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	0
-1	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0
0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36
1	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0
2	0	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	0
3	0	0	0	1/36	0	1/36	0	1/36	0	0	0
4	0	0	0	0	1/36	0	1/36	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0	1/36	0	0	0	0	0

3.2.12.4. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными координатным осям.

Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих; в) показать, что СВ X и Y независимы и .

Отв.:

3.2.12.5. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения

а) Найти плотности распределения составляющих и показать, что X и Y зависимые.

б) Найти корреляционный момент .

Указание. Воспользоваться свойством определенного интеграла: если подынтегральная функция нечетна и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, то определенный интеграл равен нулю.

Отв.:

внутри эллипса

и вне его

3.2.12.6. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y): в квадрате ; вне квадрата . Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

Отв.:

3.2.12.7. Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины
где D — треугольная область плоскости, координаты точек которых положительны, но лежат ниже прямой . Определить:

а) нормировочный множитель k;

б) математические ожидания и дисперсии составляющих X и Y;

в) коэффициент корреляции между X и Y;

г) вероятность события ;

д) плотность распределения СВ X.

Отв.:

3.2.12.8. Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины

где .

Определить:

а) нормировочный множитель k;

б) математические ожидания и дисперсии X и Y;

в) коэффициент корреляции между X и Y;

г) вероятность ;

д) функцию распределения случайной величины Y.

Отв.:

3.2.12.9. Независимые случайные величины и имеют математические ожидания и и дисперсии соответственно. Рассмотрим новые случайные величины и . Найти коэффициент корреляции между случайными величинами и .