Частное решение уравнения n-го порядка
, (11.2.20)
где , (11.2.21)
а a1a2,…,an R следует искать в виде
. (11.2.22)
Здесь r — кратность корня в характеристическом уравнении
. (11.2.23)
Если (11.2.23) такого корня не имеет, то и
полные многочлены от x степени
, с неопределенными коэффициентами, причем
равно наибольшему из чисел n и m
.
(11.2.24)
Неизвестные коэффициенты равенства (11.2.24) находятся из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него y* вместо y.
Если правая часть уравнения (11.2.20) есть сумма конечного число функций вида (11.2.21), то частное решение есть сумма частных решений, соответствующих правых частей, т.е. если
, (11.2.25)
то , где y*1 частное решение уравнения
и так далее.
ПРИМЕР 11.2.118 Найти общее решение уравнения .
Решение.
По теореме о структуре общего решения неоднородного уравнения . Найти
общее решение соответствующего однородного уравнения
. Его характеристическое уравнение имеет вид
, тогда
.
Найдем частное решение по виду правой части . В данном случае
.
Число корнем характеристического уравнения не является, значит
. Согласно (11.2.22) частное решение будет иметь вид
. Для подстановки в данное уравнение найдем
и
.
.
Сокращая на e4x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x, получим .
Окончательно имеем
.
ПРИМЕР 11.2.119 Найти общее решение уравнения линейного осциллятора без трения с периодической внешней силой sin(ωt)
частота собственных колебаний,
Решение.
Общее решение однородного уравнения выписывается с учетом корней характеристического уравнения
.
Число , соответствующее правой части уравнения, является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде
.
После подстановки в уравнение получаем
Отсюда Окончательно, общее решение неоднородного уравнения
Наличие в общем решении членов пропорциональных t свидетельствует о росте со временем амплитуды колебаний. Этот эффект называется резонансом. Это происходит при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой.
Если правая часть уравнения представляет собой сумму различных функций вида (функций с разными α и β), то решение выписывается с использованием теоремы о суперпозиции решений: надо найти частные решения, соответствующие различным частям и затем взять их сумму, которая и является решением исходного уравнения.
ПРИМЕР 11.2.120 Найти общее решение уравнения с начальными данными
Решение.
Сначала находится общее решение, затем определяются содержащиеся в нем произвольные константы. Правая часть представляет собой сумму двух функций и
Для каждой из функций найдем соответствующее частное решение. Общее решение y00(x) однородного уравнения найдем согласно корням характеристического уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде суммы двух функций
Правой части f1(x) соответствует
Так как
— корень характеристического уравнения кратности 2, то решение ищем в виде многочлена первой степени
с произвольными коэффициентами, умноженного на
Правой части соответствует
Число
корнем характеристического уравнения не является, следовательно, решение ищем в виде
Таким образом,
Подставляем в исходное неоднородное уравнение, получаем
Отсюда Общее решение неоднородного уравнения
Найдем частное решение, соответствующее начальным данным. Для этого находим значение функции y(x) и ее производных при x=0 и приравниваем их к соответствующим начальным данным
Отсюда немедленно следует Окончательно
Примеры и задачи для самостоятельного решения
11.2.121 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.122 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.123 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.124 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.125 ![]() |
Отв. ![]() |
Решить задачу Коши: | |
11.2.126
|
Отв. ![]() |
11.2.127
|
Отв. ![]() |
11.2.128 ![]() |
Отв. ![]() |
11.2.129 Определить закон движения материальной точки массы m, перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопротивление среды отсутствует, а на точку действует внешняя сила .
Отв. , если
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >