Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, то есть ряд вида
, где
или
. (12.1.23)
ТЕОРЕМА Лейбница. Если у знакочередующегося ряда ,
, абсолютные величины членов ряда убывают
и
, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Доказательство. 1. Рассмотрим сумму первых членов ряда
, то есть
.(12.1.24)
Правую часть (12.1.24) запишем в виде
.(12.1.25)
Из условия теоремы следует, что разность в скобках (12.1.25) положительна. Следовательно, сумма
положительна
и возрастает с возрастанием
.
Докажем, что она ограничена. Для этого представим следующим образом:
.(12.1.26)
В силу условия каждая разность в скобках (12.1.26) положительна. Поэтому в результате вычитания выражения в скобках из
получим число, меньшее, чем
, то есть
.
Таким образом, при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, по теореме о пределе монотонной переменной она имеет предел
, причем
.
2. Чтобы доказать сходимость ряда , нужно доказать еще, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к
. Рассмотрим сумму
первых членов ряда
. (12.1.27)
По условию теоремы , следовательно,
,
тогда
.
Тем самым доказали, что (как при
четном, так и при нечетном). Следовательно, ряд
сходится.
Замечание 1. На рис. 12.2 наглядно показано, что по мере возрастания числа членов частичные суммы возрастают, а частичные суммы
убывают, приближаясь к сумме ряда
.
ПРИМЕР 12.1.8 Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Данный ряд знакопеременный. Для исследования его сходимости составляем ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида
.
Полученный ряд гармонический, который расходится. Применим теорему Лейбница, так как ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий этой теоремы: , то есть первое условие выполняется.
второе условие также выполнено. Следовательно, ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то согласно определению 8 этот ряд сходится условно.
Замечание 2. Теорема Лейбница позволяет оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму частичной суммой
. При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с
, то есть получаем ряд вида
.(12.1.28)
Здесь остаток ряда, представляет собой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница. По теореме Лейбница сумма ряда (12.1.28) не превосходит по абсолютной величине члены
, то есть
. Таким образом, пользуясь приближенным равенством
, допускают ошибку, которая меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.
ПРИМЕР 12.1.9 Вычислить сумму ряда
с точностью
.
Решение. Исследуем на сходимость данный ряд. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида
. Полученный ряд гармонический с
. Поэтому он сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд
. Но этот ряд знакочередующийся. Согласно замечанию 2 ошибка, которая получается при замене данного ряда его частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине члена
. Чтобы достичь заданной точности, достаточно положить
, откуда находим наименьшее
, удовлетворяющее этому неравенству, то есть
. Для вычисления суммы ряда с точностью
достаточно взять сумму первых пяти слагаемых, то есть
. Сумма данного ряда с точностью
равна
.
Замечание 3. Теорема Лейбница остается в силе, если члены знакочередующегося ряда начинают убывать, начиная с некоторого .
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >