Интегральный признак Коши: Пусть члены ряда
(12.1.17)
положительны и не возрастают, то есть и
непрерывная невозрастающая функция, причем
, тогда:
1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (12.1.17);
2) если интеграл расходится, то расходится и ряд (12.1.17).
Доказательство. Для доказательства изобразим члены ряда (12.1.17) геометрически, откладывая по оси номера
членов ряда, а по оси ординат – соответствующие значения членов ряда
, (рис.12.1).
На этом же чертеже построим график непрерывной невозрастающей функции , удовлетворяющей условиям теоремы. Сравнивая площади ступенчатых фигур, криволинейной трапеции, из геометрического смысла определенного интеграла имеем
или с учетом, что
получим
.(12.1.18)
Так как частичная сумма ряда (12.17) равна
,
то левая часть (12.1.18) есть , а правая
, тогда
.(12.1.19)
1. Предположим, что интеграл сходится. Так как
,
то в силу неравенства (12.19) будем иметь
,(12.1.20)
то есть частичные суммы ограничены при всех значениях , а это значит по признаку сравнения (12.1.17) сходится.
2. Предположим, что интеграл расходится, то есть
. Из расходимости интеграла
следует, что интеграл
неограниченно возрастает при
. Тогда в силу правой части
неравенства (12.1.19) также неограниченно возрастает при
, то есть ряд расходится.
ПРИМЕР 12.1.6 Исследовать сходимость ряда ,
.
Решение. Рассмотрим случай, когда . Тогда
, так как
.
Для данного случая необходимое условие сходимости не выполняется, ряд расходится. Применим интегральный признак для случая , положим
. Это функция при
непрерывная и монотонно убывающая. Рассмотрим интеграл
2. предел конечен, интеграл сходится, следовательно, ряд сходится.
3. интеграл расходится, тогда расходится ряд.
4. интеграл расходится, тогда расходится ряд.
Итак, ряд сходится при
, при
расходится. Данный ряд называется обобщенным гармоническим рядом. При
получаем гармонический ряд
, который расходится.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >