Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов

ТЕОРЕМА 12.1.10 Почленное интегрирование функциональных рядов.

Если функции непрерывны на отрезке и составленный из них ряд сходится равномерно на этом отрезке, и имеет суммой функцию , то ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке , также сходится и имеет суммой функцию , где .

Доказательство. В силу равномерной сходимости функционального ряда функция непрерывна на отрезке и поэтому интегрируема на любом отрезке с концами в точках и . Функцию S(x) можно представить в виде , где частичная сумма, остаток ряда, или

Онлайн помощь

Тогда

(12.1.33) (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых). Таким образом, сумма членов ряда отличается от интеграла дополнительным членом . Для доказательства теоремы нужно лишь установить, что . В силу равномерной сходимости ряда для найдется номер такой, что при сразу для всех в рассматриваемом промежутке. Поэтому

Так как при , то и из (12.1.33) получим

. (12.1.34)

В (12.1.34) перейдем к пределу при , получим

(12.1.35)

в силу (12.1.33) имеем

. (12.1.36)

Сумма, стоящая слева в равенстве (12.1.36), есть частичная сумма ряда , она имеет конечный предел. Следовательно, ряд сходится и его сумма равна .

Тем самым доказаны сходимость ряда и равенство его суммы интегралу .

ПРИМЕР 12.1.13 Функциональный ряд сходится равномерно при , так как при ряд является геометрической прогрессией со знаменателем меньше , сумма его равна .

Проинтегрируем данный ряд от до , в результате чего получим ряд

Полученный ряд сходится равномерно при , согласно признаку Вейерштрасса. Тогда сумма полученного ряда .

ТЕОРЕМА 12.1.11 Почленное дифференцирование функциональных рядов Пусть ряд сходится на отрезке и имеет сумму , а его члены имеют на этом отрезке непрерывные производные, причем ряд, составленный из этих производных , сходится равномерно на и имеет сумму . Тогда функциональный ряд сходится на отрезке равномерно и производная его суммы равна сумме ряда , то есть .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно на отрезке , то на основании теоремы (1) его можно почленно интегрировать от до x, где .

или

. По условию теоремы ряд сходится и его сумма равна ; сходится по условию и ряд , его сумма равна , тогда сходится и ряд . Поэтому

. Дифференцируя по обе части равенства, получим

Остается доказать, что ряд при выполнении условий теоремы равномерно сходится на отрезке . Из равенства

в силу доказанной сходимости рядов и следует, что

, но ряд равномерно сходится на отрезке на основании теоремы 9, а сходящийся числовой ряд, то есть ряд , равномерно сходится на отрезке . Таким образом, при выполнении условий ряд равномерно сходится на отрезке и производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда.

ПРИМЕР 12.1.14 Дан сходящийся на всей числовой оси функциональный ряд , сумма которого . Ряд, составленный из производных, то есть полученный из данного дифференцированием его членов , равномерно сходится на всей числовой оси, согласно признаку Вейерштрасса.