Признак Коши: Если для ряда с положительными членами
,
величина
имеет конечный предел
при
, то есть
, то
1) при ряд сходится;
2) при ряд расходится;
3) при этот признак не дает возможности определить сходимость или расходимость ряда.
Доказательство. 1. Пусть . Рассмотрим число
, удовлетворяющее соотношению
. Начиная с некоторого номера
, будет иметь место соотношение
, откуда следует, что
или
для всех
.
Рассмотрим два ряда
(12.1.15)
(12.1.16)
Так как , то ряд (12.1.16) сходится. Члены ряда (12.1.15) меньше соответствующих членов ряда (12.1.16), начиная с
. Следовательно, ряд (12.1.15) сходится на основании признака сравнения.
2. Пусть . Тогда, начиная с некоторого
,
или
, то есть не выполняется необходимое условие сходимости ряда, ряд сходится.
ПРИМЕР 12.1.5 Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Определим
, ряд сходится.
Замечание. Признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении данного ряда с рядом геометрической прогрессии. Эти признаки не являются чувствительными к рядам, сходящимся медленнее, чем геометрическая прогрессия. Для таких рядов рассматривают более сильные признаки, в частности, интегральный признак Коши.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >