ТЕОРЕМА 12.1.6 Если ряд сходится и
, то и ряд
сходится. Если же ряд
расходится, а
, то ряд
расходится.
Доказательство. Пусть частичная сумма ряда
,
частичная сумма ряда
. Так как ряд
сходится, то его частичная сумма ограничена, то есть при всех
, где
некоторое число. Так как
, то
, а это значит, что частичная сумма
ряда
также ограничена, а этого достаточно для сходимости ряда
с неотрицательными членами.
Если же ряд расходится, то ряд
также расходится, так как предположив, что ряд
сходится и
, по условию, по выше доказанному должен сходиться и ряд
, что противоречит условию. Значит, ряд
расходится.
ПРИМЕР 12.1.3 Пользуясь теоремой 12.6, исследовать сходимость ряда .
Решение. Проверим, выполняется ли для данного ряда необходимый признак сходимости знакоположительных рядов , ряд может сходиться.
Для доказательства сходимости применим теорему 12.1.6. Для сравнения рассмотрим ряд , который сходится, так как
, причем
. Следовательно, сходится и ряд
.
Следствие. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то из сходимости ряда с общим членом
следует сходимость ряда с общим членом
, и из расходимости первого ряда следует расходимость второго.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >