ТЕОРЕМА 12.1.5 Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, то есть
.
Доказательство. Дан сходящийся числовой ряд , а это значит, что
,(12.1.7)
но и
, так как
при
(12.1.8)
Вычитая из (12.1.7) (12.1.8), получим
или
но
.
Замечание. Если для некоторого ряда , то такой ряд расходится (достаточный признак расходимости).
ПРИМЕР 12.1.2 Гармонический ряд. Ряд вида
называется гармоническим. Для этого ряда выполняется необходимое условие сходимости
.
Покажем, что этот ряд расходится. Известно, что возрастающая последовательность сходится и ее предел равен e:
; при этом
. Логарифмируя это неравенство, имеем
или, деля обе части на
,
.
При ;
;
;
.
Частичная сумма гармонического ряда, каждый член которой больше соответствующего члена суммы вида
, удовлетворяет неравенству
, но
, откуда следует, что
.
Из рассмотренного примера следует, что рассмотренный признак не является достаточным признаком сходимости ряда.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >