Ряды по степеням (x-x0)
Функциональный ряд вида
(12.1.46)
называется степенным рядом по степеням разности . Нетрудно заметить, что при
из ряда (1) получается известный степенной ряд
. Следовательно, ряд
является частным случаем ряда (12.1.46).
Для определения интервала сходимости ряда (12.1.46) сделаем в нем замену: . Тогда ряд (12.1.46) примет вид
. (12.1.47)
Ряд (12.1.47) по степеням . Пусть интервал сходимости ряда (12.1.47)
.
Отсюда следует, что ряд (12.1.46) будет сходиться при значениях , удовлетворяющих неравенству
или
и расходиться при
. Следовательно, интервалом сходимости данного ряда будет интервал
с центром в точке
.
Замечание. Все сказанное о степенных рядах по степеням остается справедливым и для степенных рядов по степеням разности
в соответствующих интервалах сходимости.
ПРИМЕР 12.1.18 Найти радиус сходимости ряда .
Решение. Найдем радиус сходимости
При получим числовой ряд
, который сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом с
.
При получим числовой знакочередующийся ряд
, для которого выполняются условия теоремы Лейбница, и он сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является отрезок
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >